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第1章 “万物皆数”观点的破灭与再生——第一次数学危机与实数理论 1

1.1 毕达哥拉斯学派的信条——万物皆数 2

1.2 第一个无理数 2

1.3 无理数之谜 4

1.4 连续性的奥秘 5

1.5 戴德金分割 6

1.6 连续归纳原理 8

1.7 “万物皆数”的再生 9

1.8 勾股定理的多种证明 10

1.9 无理数与第一次数学危机 11

1.10 中国古代文化中的“万物皆数” 13

1.11 一分为二和一分为三 16

第2章 哪种几何才是真的——非欧几何与现代数学的“公理” 19

2.1 欧几里得的公理方法 20

2.2 欧几里得的几何定理是真理吗 21

2.3 非欧几何的发现 22

2.4 哪一个是真的 24

2.5 公理是什么 25

2.6 古今由圆外一点向圆作切线的不同 27

2.7 定义的多样性和局限性 28

第3章 变量·无穷小·量的鬼魂——第二次数学危机与极限概念 32

3.1 数学怎么描述运动与变化 33

3.2 瞬时速度 35

3.3 微分是量的鬼魂吗 37

3.4 无穷小量的再生 39

3.5 不用极限的微积分 41

第4章 自然数有多少——数学中的“实在无穷”概念 51

4.1 伽利略的困惑 52

4.2 康托，闯入无穷王国的先锋 53

4.3 希尔伯特的“无穷旅店” 56

4.4 所有的无穷都一样吗 57

4.5 自然数究竟有多少 61

4.6 有理数的自白 63

4.7 素数无穷的不同表述 64

4.8 数学的严格 65

4.9 欧氏几何是否严谨 66

4.10 眼见未必为实 68

第5章 罗素悖论引起的轩然大波——第三次数学危机 72

5.1 逻辑—集合—数 73

5.2 罗素悖论 74

5.3 集合的层次理论 75

5.4 集合论的公理化 76

5.5 连续统假设 77

5.6 地平线仍在前方 78

5.7 悖论与危机 80

第6章 数是什么——对数学对象本质的几种看法 84

6.11 是什么 85

6.2 柏拉图主义——数存在于理念世界 87

6.3 唯名论观点——数是纸上的符号或头脑中特定的概念 89

6.4 康德：数是思维创造的抽象实体 90

6.5 约定论的观点——数学规则不过是人的约定 91

6.6 逻辑主义——算术是逻辑的一部分 92

6.7 直觉主义——数学概念是自主的智力活动 93

6.8 形式主义——把数学化为关于有限符号排列的操作 95

6.9 争论与统一 97

6.10 存在与构造 98

6.11 0.9 =1吗 101

第7章 是真的，但又不能证明——哥德尔定理 103

7.1 哥德尔定理 105

7.2 说谎者悖论与理查德悖论 106

7.3 算术有多少种 107

7.4 数学的力量与局限 109

7.5 数学的局限与加密 110

7.6 数学的局限与博弈 111

第8章 数学与结构——布尔巴基学派的观点 114

8.1 在逻辑长链的背后 116

8.2 形形色色的加法 118

8.3 基本的结构 121

8.4 分析与综合的艺术 124

8.5 布尔巴基学派和新数运动 128

第9章 命运决定还是意志自由——必然性与偶然性的数学思考 130

9.1 两种对立的哲学观点 131

9.2 从偶然产生必然 136

9.3 从必然产生偶然 138

9.4 一场风暴或一口痰能影响民族的命运吗 139

9.5 什么叫必然？什么叫偶然 141

9.6 抽屉原理 144

9.7 五百年必有王者兴 145

9.8 抛硬币真的公平吗？ 146

第10章 举例子能证明几何定理吗——演绎与归纳的对立与统一 149

10.1 例证法——用演绎支持归纳 150

10.2 几何定理也能用例子证明 151

10.3 进一步的思考 154

10.4 验证三角形内角和定理 157

10.5 精确数学和近似数学 158

10.6 例证法与动态几何 160

第11章 计算机正在改变数学 161

11.1 四色定理的机器证明 162

11.2 计算机证明的定理可靠吗 163

11.3 数学和计算机共同发展 165

11.4 《九章 算术》的算法思想 166

11.5 几何信息搜索系统简介 167

11.6 机器证明软件简介 172

第12章 审视作为教育任务的数学 180

12.1 《几何原本》教学角度的改进 180

12.2 《几何原本》学术角度的完善 184

12.3 数学知识的表示 187

12.4 知识的表示影响数学证明 190

12.5 优化数学的基本标准 193

12.6 从高斯线定理的巧证谈证法之优劣 199

12.7 什么是巧合点 203

第13章 数学与哲学随想 206

13.1 数学的领域在扩大，哲学的地盘在缩小 206

13.2 数学始终在影响着哲学 207

13.3 抽象与具体 209

13.4 涉及具体问题时，语言必须精确严格 210

13.5 个别与一般 213

13.6 事物与概念 215

13.7 “我不需要这个假设” 216

13.8 证实与证伪 217

13.9 数学世界是人的创造，但它是客观的 218

13.10 事物的总体性 219

13.11 变化中的不变 220

13.12 预言 221

13.13 “没有两件事物完全一样” 222

13.14 物极必反 225

13.15 论怀疑 226

13.16 量变与质变 229

13.17 罗素与“事素” 230

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