考研数学 基础知识复习大全 数学 1 适用 中公版 2020版PDF电子书下载

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第一篇 高等数学 2

第一章 函数、极限、连续 2

考纲分级要求 2

基础知识精讲 2

一、函数 2

（一）函数的概念及表示法 2

（二）函数的几种特征 2

（三）函数的运算 4

（四）常见的函数类型 5

二、极限 7

（一）极限的概念 7

（二）极限的性质 8

（三）无穷小量和无穷大量 8

（四）两个重要极限 10

（五）极限的运算法则 10

（六）极限存在的判别准则 11

三、连续 11

（一）函数的连续性 11

（二）间断点及其类型 11

（三）闭区间上连续函数的性质 12

典型例题精编 12

题型一——函数及其性质 12

题型二——函数极限的计算 16

题型三——无穷小量的比较 20

题型四——函数连续性的判断及相关性质 21

同步习题 24

一、选择题 24

二、填空题 24

三、解答题 25

同步习题参考答案 25

第二章 一元函数微分学 30

考纲分级要求 30

基础知识精讲 30

一、导数与微分 30

（一）导数的基本概念 30

（二）微分的基本概念及性质 31

二、导数与微分的计算 33

（一）导数与微分的基本公式 33

（二）导数（微分）运算法则 33

（三）常考题型 34

（四）高阶导数 35

三、微分中值定理 35

（一）费马引理 35

（二）罗尔定理 35

（三）拉格朗日中值定理 36

（四）柯西中值定理 36

四、导数的应用 37

（一）导数性质的相关应用 37

（二）利用导数研究函数的相关性质 38

（三）几何应用 42

典型例题精编 43

题型一——函数可导、连续与可微的关系 43

题型二——导数的计算 45

题型三——高阶导数的计算 49

题型四——微分中值定理 49

题型五——导数的应用 52

同步习题 62

一、选择题 62

二、填空题 63

三、解答题 63

同步习题参考答案 65

第三章 一元函数积分学 72

考纲分级要求 72

基础知识精讲 72

一、不定积分 72

（一）原函数与不定积分 72

（二）不定积分的计算方法 73

二、定积分 76

（一）定积分的概念及性质 76

（二）微积分基本定理 77

（三）定积分的求解 78

（四）定积分的应用 79

三、反常积分 82

（一）无穷限反常积分 82

（二）无界函数的反常积分（瑕积分） 82

典型例题精编 82

题型一——原函数的概念 82

题型二——不定积分的计算 83

题型三——定积分的性质及变上限积分函数 88

题型四——定积分的计算 90

题型五——定积分的应用 93

题型六——反常积分 97

同步习题 97

一、选择题 97

二、填空题 97

三、解答题 98

同步习题参考答案 100

第四章 向量代数和空间解析几何 108

考纲分级要求 108

基础知识精讲 108

一、向量代数 108

（一）空间直角坐标系 108

（二）向量的基本概念 108

（三）向量的运算 109

（四）向量的关系 111

二、空间解析几何 111

（一）平面与直线 111

（二）曲面与空间曲线 114

典型例题精编 117

题型一——向量的运算及性质 117

题型二——空间平面与直线 119

题型三——曲面与空间曲线 123

同步习题 125

一、选择题 125

二、填空题 126

三、解答题 126

同步习题参考答案 127

第五章 多元函数微分学 132

考纲分级要求 132

基础知识精讲 132

一、基本概念 132

（一）多元函数 132

（二）二元函数的极限与连续 132

（三）二元函数的偏导数与全微分 133

二、偏导数的计算 135

（一）复合函数的偏导数 135

（二）隐函数的偏导数 136

三、偏导数的应用 137

（一）极值 137

（二）连续函数在有界闭区域上的最值问题 138

（三）几何应用 139

典型例题精编 140

题型一——多元函数的极限、连续及偏导 140

题型二——多元函数求偏导 143

题型三——多元函数微分学的应用 147

同步习题 151

一、选择题 151

二、填空题 151

三、解答题 152

同步习题参考答案 152

第六章 多元函数积分学 158

考纲分级要求 158

基础知识精讲 158

一、重积分 158

（一）二重积分 158

（二）三重积分 161

二、曲线积分 164

（一）第一类曲线积分 164

（二）第二类曲线积分 165

（三）两类曲线积分的关系 168

三、曲面积分 168

（一）第一类曲面积分 168

（二）第二类曲面积分 170

（三）两类曲面积分的关系 171

四、场论 171

（一）梯度 171

（二）通量 172

（三）散度 172

（四）旋度 172

典型例题精编 172

题型一——二重积分的计算 172

题型二——三重积分的计算 177

题型三——第一类曲线积分 179

题型四——第二类曲线积分 179

题型五——第一类曲面积分 184

题型六——第二类曲面积分 185

题型七——场论相关问题 188

同步习题 188

一、选择题 188

二、填空题 189

三、解答题 189

同步习题参考答案 191

第七章 无穷级数 199

考纲分级要求 199

基础知识精讲 199

一、常数项级数 199

（一）级数的概念及性质 199

（二）级数的收敛准则 200

（三）两个重要级数 203

二、幂级数 203

（一）函数项级数及和函数 203

（二）幂级数及其收敛性 203

（三）幂级数的性质 204

（四）函数展开成幂级数 204

三、傅里叶级数 206

（一）三角函数系 206

（二）傅里叶级数 206

（三）收敛定理 207

（四）函数的傅里叶展开 207

典型例题精编 208

题型一——常数项级数的敛散性 208

题型二——幂级数 213

题型三——傅里叶级数 217

同步习题 218

一、选择题 218

二、填空题 218

三、解答题 218

同步习题参考答案 219

第八章 常微分方程 224

考纲分级要求 224

基础知识精讲 224

一、基本概念 224

（一）微分方程及阶的概念 224

（二）微分方程的解、通解、特解 224

（三）线性微分方程 224

二、一阶微分方程的求解 225

（一）变量可分离的微分方程 225

（二）齐次微分方程 225

（三）一阶线性微分方程 226

（四）伯努利方程 226

（五）全微分方程 227

（六）可用简单的变量代换求解的微分方程 227

三、可降阶的高阶微分方程 227

（一）y（n）＝f（X）型 227

（二）Y"=f （X，Y'）型 228

（三）y"=f （y，y'）型 228

四、二阶及高于二阶的常系数线性微分方程的求解 228

（一）线性微分方程解的性质及解的结构定理 228

（二）二阶常系数齐次线性微分方程 229

（三）n阶常系数齐次线性微分方程 230

（四）二阶常系数非齐次线性微分方程 230

（五）欧拉方程 230

典型例题精编 231

题型一——阶微分方程 231

题型二——可降阶的高阶微分方程 235

题型三——二阶及高于二阶的常系数线性微分方程 236

题型四——欧拉方程 239

题型五——微分方程的应用 240

同步习题 241

一、选择题 241

二、填空题 241

三、解答题 241

同步习题参考答案 242

第二篇 线性代数 248

第一章 行列式 248

考纲分级要求 248

基础知识精讲 248

一、行列式的相关概念 248

（一）排列与逆序 248

（二）行列式 248

（三）余子式与代数余子式 249

二、行列式的性质 249

三、行列式的计算公式 251

（一）行列式展开定理 251

（二）低阶行列式的计算公式 251

（三）上（下）三角形行列式 251

（四）两个特殊的拉普拉斯展开式 252

（五）范德蒙德行列式 252

典型例题精编 252

题型一——对行列式相关概念的考查 252

题型二——行列式的计算 255

同步习题 262

一、选择题 262

二、填空题 262

三、解答题 263

同步习题参考答案 264

第二章 矩阵 268

考纲分级要求 268

基础知识精讲 268

一、矩阵的相关概念 268

（一）矩阵的定义 268

（二）几类特殊的矩阵 268

二、矩阵的运算 269

（一）矩阵的线性运算 269

（二）矩阵的乘法 270

（三）矩阵的转置 271

（四）方阵的行列式 271

三、逆矩阵 271

（一）逆矩阵的定义 271

（二）可逆矩阵的性质 272

（三）伴随矩阵 272

（四）矩阵可逆的充要条件 273

四、矩阵的初等变换和初等矩阵 273

（一）基本概念 273

（二）重要公式与定理 274

五、矩阵的秩 274

（一）矩阵的k阶子式 274

（二）矩阵的秩 274

（三）矩阵秩的相关性质 275

六、分块矩阵 275

（一）定义 275

（二）运算法则 275

（三）分块矩阵的常用结论 276

典型例题精编 276

题型一——矩阵的基本运算及性质 276

题型二——逆矩阵及伴随矩阵的计算 281

题型三——初等矩阵与初等变换 284

题型四——矩阵的秩 286

题型五——分块矩阵 287

同步习题 289

一、选择题 289

二、填空题 290

三、解答题 290

同步习题参考答案 291

第三章 向量 296

考纲分级要求 296

基础知识精讲 296

一、向量及其性质 296

（一）向量 296

（二）线性组合与线性表示 297

（三）向量组的线性相关性 298

二、向量组的极大线性无关组和秩 299

（一）向量组的极大线性无关组 299

（二）向量组的秩 300

（三）矩阵的秩与向量组的秩的关系 300

三、向量的内积与正交性 301

（一）向量的内积 301

（二）正交向量组和规范正交向量组 301

（三）施密特正交化 302

四、向量空间 302

（一）基本概念 302

（二）重要公式和定理 303

典型例题精编 303

题型一——向量的线性相关与线性表出 303

题型二——内积与正交 309

题型三——极大线性无关组与秩 309

题型四——向量空间 311

同步习题 311

一、选择题 311

二、填空题 312

三、解答题 312

同步习题参考答案 313

第四章 线性方程组 317

考纲分级要求 317

基础知识精讲 317

一、基本概念 317

（一）线性方程组 317

（二）线性方程组的矩阵 317

（三）高斯消元法 318

二、线性方程组解的判定 318

（一）解的存在性 318

（二）解的唯一性 319

三、线性方程组解的结构 319

（一）线性方程组解的性质 319

（二）基础解系与通解 319

四、克拉默法则 321

典型例题精编 322

题型一——线性方程组解的判定 322

题型二——线性方程组解的结构 326

同步习题 331

一、选择题 331

二、填空题 332

三、解答题 333

同步习题参考答案 333

第五章 矩阵的特征值和特征向量 340

考纲分级要求 340

基础知识精讲 340

一、特征值和特征向量 340

（一）特征值和特征向量的定义 340

（二）特征值和特征向量的性质 340

（三）特征值和特征向量的求解 341

二、矩阵的相似 342

（一）相似矩阵的定义 342

（二）相似矩阵的性质 342

三、相似对角化 342

（一）相似对角化的定义 342

（二）矩阵相似对角化的相关定理 343

（三）矩阵对角化的方法 343

四、实对称矩阵 343

（一）实对称矩阵特征值和特征向量的性质 343

（二）实对称矩阵正交相似对角化的方法 344

典型例题精编 344

题型一——特征值和特征向量 344

题型二——矩阵的相似 349

题型三——实对称矩阵 354

同步习题 356

一、选择题 356

二、填空题 356

三、解答题 357

同步习题参考答案 358

第六章 二次型 365

考纲分级要求 365

基础知识精讲 365

一、二次型及其合同标准形 365

（一）二次型及其矩阵 365

（二）合同变换 365

（三）二次型的合同标准形 366

二、惯性指数与合同规范形 367

（一）惯性指数 367

（二）二次型的合同规范形 367

（三）惯性定理 368

三、正定二次型 368

（一）正定二次型的定义 368

（二）正定二次型的性质 368

（三）二次型正定的充要条件 368

典型例题精编 369

题型一——二次型及标准形 369

题型二——惯性定理与合同 374

题型三——正定二次型和正定矩阵 376

同步习题 378

一、选择题 378

二、填空题 378

三、解答题 379

同步习题参考答案 379

第三篇 概率论与数理统计 386

第一章 随机事件和概率 386

考纲分级要求 386

基础知识精讲 386

一、随机试验与样本空间 386

（一）随机试验 386

（二）样本空间 386

二、随机事件 386

（一）定义 386

（二）事件发生 386

（三）特殊的随机事件 387

（四）随机事件的关系和运算 387

（五）事件的运算律 388

三、随机事件的概率 388

（一）概率的定义 388

（二）古典概型 389

（三）几何概型 389

（四）条件概率 389

（五）全概率公式与贝叶斯公式 390

四、随机事件的独立性 390

（一）独立性的概念与性质 390

（二）n重伯努利概型及其概率计算 391

典型例题精编 391

题型一——随机事件的关系与运算 391

题型二——计算简单概型的概率 392

题型三——事件的独立性 396

题型四——利用相关公式计算概率 397

同步习题 399

一、选择题 399

二、填空题 400

三、解答题 400

同步习题参考答案 401

第二章 随机变量及其分布 407

考纲分级要求 407

基础知识精讲 407

一、随机变量 407

（一）随机变量的定义 407

（二）随机变量的分类 407

二、随机变量的分布函数 407

（一）分布函数 407

（二）分布函数的性质 408

（三）利用分布函数求概率 408

三、离散型随机变量 408

（一）离散型随机变量的分布律（概率分布） 408

（二）离散型随机变量的分布函数 409

（三）常用的离散型分布 409

四、连续型随机变量 410

（一）概率密度函数 410

（二）概率密度的基本性质 410

（三）连续型随机变量的其他性质 410

（四）常用的连续型分布 411

五、随机变量函数的分布 412

（一）离散型随机变量函数的分布 412

（二）连续型随机变量函数的分布 413

典型例题精编 413

题型一——随机变量的分布函数 413

题型二——离散型随机变量及其分布 414

题型三——连续型随机变量及其分布 416

题型四——随机变量函数的分布 420

同步习题 421

一、选择题 421

二、填空题 422

三、解答题 422

同步习题参考答案 424

第三章 多维随机变量及其分布 432

考纲分级要求 432

基础知识精讲 432

一、多维随机变量及其联合分布 432

（一）多维随机变量 432

（二）联合分布函数 432

（三）二维离散型随机变量及其联合分布律 433

（四）二维连续型随机变量及其联合概率密度 433

（五）常见分布 434

二、多维随机变量的边缘分布 434

（一）边缘分布函数 434

（二）边缘分布律 435

（三）边缘概率密度 435

三、多维随机变量的条件分布 435

（一）条件分布律 435

（二）条件概率密度 435

四、二维随机变量的独立性 436

（一）定义 436

（二）判别方法 436

（三）常用性质 436

五、二维随机变量函数的分布 437

（一）离散型随机变量 437

（二）连续型随机变量 437

（三）几个常用二维连续型随机变量函数的分布 437

典型例题精编 439

题型一——二维离散型随机变量 439

题型二——二维连续性随机变量 444

题型三——二维随机变量函数的分布 447

同步习题 449

一、选择题 449

二、填空题 449

三、解答题 449

同步习题参考答案 451

第四章 随机变量的数字特征 457

考纲分级要求 457

基础知识精讲 457

一、随机变量的数学期望 457

（一）高散型随机变量的数学期望 457

（二）连续型随机变量的数学期望 458

（三）随机变量数学期望的性质 458

二、随机变量的方差 458

（一）方差的定义 458

（二）方差的计算 459

（三）随机变量方差的性质 459

三、常用随机变量的数学期望和方差 459

（一）0-1分布 459

（二）二项分布 459

（三）泊松分布 460

（四）几何分布 460

（五）均匀分布 460

（六）指数分布 460

（七）正态分布 460

四、协方差和相关系数 460

（一）协方差 460

（二）相关系数 461

五、随机变量的矩 462

（一）k阶原点矩 462

（二）k阶中心矩 462

（三）k+1混合中心矩 462

典型例题精编 462

题型一——数学期望的相关计算 462

题型二——方差的相关计算 465

题型三——协方差的基本计算 467

题型四——运用期望、方差协方差的性质计算 470

题型五——随机变量的矩 470

同步习题 471

一、选择题 471

二、填空题 471

三、解答题 471

同步习题参考答案 473

第五章 大数定律和中心极限定理 479

考纲分级要求 479

基础知识精讲 479

一、依概率收敛 479

（一）定义 479

（二）性质 479

二、切比雪夫不等式 479

三、大数定律 479

（一）切比雪夫大数定律 479

（二）辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定侓） 480

（三）伯努利大数定律 480

四、中心极限定理 480

（一）列维-林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理） 480

（二）棣莫弗-拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为其极限分布） 480

典型例题精编 481

题型一——切比雪夫不等式 481

题型二——大数定律 481

题型三——中心极限定理 482

同步习题 483

一、选择题 483

二、填空题 484

三、解答题 484

同步习题参考答案 484

第六章 数理统计的基本概念 486

考纲分级要求 486

基础知识框讲 486

一、随机样本 486

（一）总体 486

（二）样本 486

二、统计量 486

（一）定义 486

（二）常用的统计量 487

（三）数字特征 487

三、抽样分布 487

（一）X2分布 487

（二）t分布 487

（三）F分布 488

四、一维正态总体下统计量的性质典型例题精编 489

题型一——计算简单随机样本的概率分布 489

题型二——计算统计量的数字特征 489

题型三——三大抽样分布的相关计算 490

题型四——正态总体的抽样分布 492

同步习题 493

一、选择题 493

二、填空题 493

三、解答题 494

同步习题参考答案 494

第七章 参数估计 498

考纲分级要求 498

基础知识精讲 498

一、相关概念 498

（一）点估计 498

（二）估计量的评选标准 498

二、估计量的求法 499

（一）矩估计 499

（二）最大似然估计 499

三、区间估计 501

（一）置信区间的概念和求解步骤 501

（二）正态总体均值与方差的区间估计 501

典型例题精编 503

题型一——估计量的评选标准 503

题型二——矩估计与最大似然估计 504

同步习题 507

一、选择题 507

二、填空题 507

三、解答题 507

同步习题参考答案 508

第八章 假设检验 510

考纲分级要求 510

基础知识精讲 510

一、基本概念 510

（一）假设检验的定义 510

（二）假设检验的两类错误 510

（三）显著性检验 510

二、正态总体参数的假设检验 511

典型例题精编 512

题型一——正态总体期望与方差的区间估计 512

题型二——正态总体期望与方差的假设检验 513

同步习题 514

一、选择题 514

二、填空题 514

三、解答题 515

同步习题参考答案 515

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