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第一篇 高等数学 3

第一章 函数 极限 连续 3

考点与要求 3

1函数 3

内容精讲 3

一、定义 3

二、重要性质、定理、公式 5

例题分析 6

一、求分段函数的复合函数 6

二、关于函数有界（无界）的讨论 7

2极限 8

内容精讲 8

一、定义 8

二、重要性质、定理、公式 9

三、计算极限的一些有关方法 10

例题分析 12

一、求函数的极限 12

二、已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限 19

三、含有|x|，e1/x的x→0时的极限，含有取整函数[x]的x趋于整数时的极限 23

四、无穷小的比较 23

五、数列的极限 24

六、极限运算定理的正确运用 28

3函数的连续与间断 31

内容精讲 31

一、定义 31

二、重要性质、定理、公式 32

例题分析 32

一、讨论函数的连续与间断 32

二、在连续条件下求参数 33

三、讨论由极限定义的函数的连续性或间断点的类型 34

练习 35

第二章 一元函数微分学 36

考点与要求 36

1导数与微分，导数的计算 36

内容精讲 36

一、定义 36

二、重要性质、定理、公式 37

例题分析 40

一、按定义求一点处的导数 40

二、已知f（x）在某点x＝x0处可导，求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求f（x）在x＝x0处的导数 42

三、绝对值函数的导数 45

四、由极限式表示的函数的可导性 47

五、导数与微分、增量的关系 47

六、求导数的计算题 48

2导数的应用 50

内容精讲 50

一、定义 50

二、重要性质、定理、公式与方法 51

例题分析 53

一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论 53

二、渐近线 57

三、曲率与曲率圆 57

四、最大值、最小值问题 59

3中值定理、不等式与零点问题 60

内容精讲 60

一、重要定理 60

二、重要方法 61

例题分析 63

一、不等式的证明 63

二、f（x）的零点与f’（x）的零点问题 68

三、复合函数？（x，f（x），f’（x））的零点 70

四、复合函数？（x，f（x），f’（x），f’’（x））的零点 71

五、零点的个数问题 72

六、证明存在某ε满足某不等式 73

七、利用中值定理求极限、f’（x）与f（x）的一些极限性质的关系 74

练习 75

第三章 一元函数积分学 77

考点与要求 77

1不定积分与定积分的概念、性质、理论 77

内容精讲 77

一、定义 77

二、重要性质、定理、公式 78

例题分析 79

一、分段函数的不定积分与定积分 79

二、定积分与原函数的存在性 82

三、奇、偶函数，周期函数的原函数及变限积分 82

2不定积分与定积分的计算 85

内容精讲 85

一、基本积分公式 85

二、基本积分方法 86

例题分析 88

一、简单有理分式的积分 88

二、三角函数的有理分式的积分 89

三、简单无理式的积分 90

四、两种不同类型的函数相乘的积分 91

五、被积函数中含有导数或变限函数的积分 93

六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分 94

七、含参变量带绝对值号的定积分 96

八、积分计算杂例 97

3反常积分及其计算与判敛 99

内容精讲 99

一、定义 99

二、重要性质、定理、公式 99

例题分析 100

一、反常积分的计算与通过计算获知反常积分的敛散性 100

二、反常积分收敛、发散的判别 104

4定积分的应用 107

内容精讲 107

一、基本方法 107

二、重要几何公式与物理应用 107

例题分析 109

一、几何应用 109

二、物理应用 112

5定积分的证明题 116

内容精讲 116

例题分析 116

一、讨论变限积分所定义的函数的奇偶性、周期性、极值、单调性等 116

二、由积分定义的函数求极限 118

三、积分不等式的证明 118

四、零点问题 123

练习 125

第四章 向量代数与空间解析几何 127

考点与要求 127

1向量代数 127

内容精讲 127

一、与向量有关的基本概念 127

二、向量的运算及性质 128

例题分析 129

一、向量的运算 129

二、向量运算的应用及向量的位置关系 131

2平面与直线 132

内容精讲 132

一、平面方程 132

二、直线方程 132

三、平面与直线间的位置关系 132

例题分析 133

一、建立平面方程 133

二、建立直线方程 135

三、与平面和直线的位置关系有关的问题 137

3空间曲面与曲线 140

内容精讲 140

一、旋转面及其方程 140

二、柱面及其方程 140

三、常见的二次曲面及图形 141

四、空间曲线及其方程 142

五、空间曲线的投影 142

例题分析 142

一、建立柱面方程 142

二、建立旋转面方程 143

三、建立空间曲线的投影曲线方程 145

练习 146

第五章 多元函数微分学 147

考点与要求 147

1多元函数的极限、连续、偏导数与全微分（概念） 147

内容精讲 147

一、多元函数 147

二、二元函数的极限与连续 147

三、二元函数的偏导数与全微分 148

例题分析 150

一、讨论二重极限 150

二、讨论二元函数的连续性、偏导数存在性 152

三、讨论二元函数的可微性 153

2多元函数的微分法 156

内容精讲 156

一、复合函数的偏导数与全微分 157

二、隐函数的偏导数与全微分 158

例题分析 159

一、求复合函数的偏导数与全微分 159

二、求隐函数的偏导数与全微分 168

3极值与最值 173

内容精讲 173

一、无条件极值 173

二、条件极值 173

例题分析 174

一、无条件极值问题 174

二、条件极值（最值）问题 177

三、多元函数的最大（小）值问题 178

4方向导数与梯度 多元微分在几何上的应用 泰勒定理 183

内容精讲 183

一、方向导数 183

二、梯度 183

三、曲面的切平面与法线 184

四、曲线的切线和法平面 184

五、泰勒定理 185

例题分析 185

一、有关方向导数与梯度 185

二、有关曲面的切平面和曲线的切线 188

三、泰勒定理 190

练习 191

第六章 多元函数积分学 192

考点与要求 192

1重积分 192

内容精讲 192

一、二重积分 192

二、三重积分 195

例题分析 197

一、计算二重积分 197

二、累次积分交换次序及计算 206

三、与二重积分有关的综合题 208

四、与二重积分有关的积分不等式问题 211

五、计算三重积分 214

六、三重积分的累次积分 217

2曲线积分 218

内容精讲 218

一、对弧长的线积分（第一类线积分） 218

二、对坐标的线积分（第二类线积分） 219

例题分析 221

一、对弧长的线积分（第一类线积分） 221

二、对坐标的线积分（第二类线积分） 223

3曲面积分 232

内容精讲 232

一、对面积的面积分（第一类面积分） 232

二、对坐标的面积分（第二类面积分） 233

例题分析 234

一、对面积的面积分（第一类面积分） 234

二、对坐标的面积分（第二类面积分） 237

4场论初步 242

内容精讲 242

一、梯度 242

二、通量 242

三、散度 242

四、旋度 243

例题分析 243

一、梯度、旋度、散度的计算 243

5多元积分的应用 244

内容精讲 244

例题分析 245

一、几何应用 245

二、求物理量 246

练习 249

第七章 无穷级数 251

考点与要求 251

1常数项级数 251

内容精讲 251

一、级数的概念与性质 251

二、级数的判敛准则 252

例题分析 253

一、正项级数敛散性的判定 253

二、交错级数敛散性的判定 257

三、任意项级数敛散性判定 258

四、有关常数项级数的证明题与综合题 263

2幂级数 269

内容精讲 269

一、函数项级数及收敛域与和函数 269

二、幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域 269

三、幂级数的性质 270

四、函数的幂级数展开 270

例题分析 271

一、求幂级数的收敛域 271

二、将函数展开为幂级数 274

三、级数求和 277

3傅里叶级数 283

内容精讲 283

一、三角函数及其正交性 283

二、傅里叶级数 283

三、收敛性定理 283

四、周期为2π的函数的傅里叶展开 283

五、周期为2l的函数的傅里叶展开 284

例题分析 285

一、有关收敛定理的问题 285

二、将函数展开为傅里叶级数 286

练习 287

第八章 常微分方程 289

考点与要求 289

1常微分方程 289

内容精讲 289

一、微分方程的基本概念 289

二、常见的几类一阶方程及解法 289

三、可降阶的高阶微分方程 290

四、高阶线性方程 291

例题分析 293

一、微分方程求解 293

二、微分方程的综合题 298

三、微分方程的应用 301

练习 303

第二篇 线性代数 307

第一章 行列式 307

考点与要求 307

内容精讲 307

例题分析 310

一、数字型行列式的计算 310

二、抽象型行列式的计算 318

三、行列式|A|是否为零的判定 320

四、关于代数余子式求和 320

练习 322

第二章 矩阵 323

考点与要求 323

内容精讲 323

1矩阵的概念及运算 323

一、矩阵的概念 323

二、矩阵的运算 324

三、矩阵的运算规则 324

四、特殊矩阵 325

2伴随矩阵、可逆矩阵 326

一、伴随矩阵、可逆矩阵的概念 326

二、伴随矩阵重要公式 326

三、n阶矩阵A可逆的充分必要条件 326

四、逆矩阵的运算性质 326

五、求逆矩阵的方法 327

3初等变换、初等矩阵 327

一、定义 327

二、初等矩阵与初等变换的性质 328

4矩阵的秩 328

一、矩阵秩的概念 328

二、矩阵秩的公式 328

5分块矩阵 329

一、分块矩阵的概念 329

二、分块矩阵的运算 329

例题分析 330

一、矩阵的概念及运算 330

二、特殊方阵的幂 333

三、伴随矩阵的相关问题 335

四、可逆矩阵的相关问题 338

五、初等变换、初等矩阵 341

六、矩阵的秩 344

练习 347

第三章 向量 349

考点与要求 349

内容精讲 349

1 n维向量的概念与运算 349

2线性表出、线性相关 350

一、线性表出的概念 350

二、线性相关、线性无关的概念 350

三、线性表出、线性相关的重要定理 350

3极大线性无关组、秩 351

一、极大线性无关组、向量组秩的概念 351

二、有关秩的定理 351

4 Schmidt正交化、正交矩阵 352

一、Schmidt正交化（正交规范化方法） 352

二、正交矩阵 352

5向量空间 352

一、向量空间的概念 352

二、主要定理 353

例题分析 354

一、线性相关性判别 354

二、向量的线性表示 355

三、线性相关与线性无关的证明 357

四、秩与极大线性无关组 362

五、正交化、正交矩阵 364

六、向量空间 365

练习 368

第四章 线性方程组 370

考点与要求 370

内容精讲 370

1克拉默法则 370

2齐次线性方程组 370

3非齐次线性方程组 372

例题分析 373

一、线性方程组的基本概念题 373

二、线性方程组的求解 377

三、基础解系 383

四、Ax＝0的系数矩阵A的行向量和解向量的关系，由Ax＝0的基础解系反求A 385

五、线性方程组中系数矩阵的列向量和解向量的关系 387

六、两个方程组的公共解 389

七、同解方程组 390

练习 392

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵 394

考点与要求 394

内容精讲 394

1特征值、特征向量 394

一、特征值，特征向量 394

二、特征方程、特征多项式、特征矩阵 394

三、特征值的性质 394

四、求特征值、特征向量的方法 395

2相似矩阵、矩阵的相似对角化 395

一、相似矩阵 395

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件 395

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件 396

3实对称矩阵的相似对角化 396

一、实对称阵 396

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化 396

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤 396

例题分析 397

一、特征值，特征向量的求法 397

二、两个矩阵有相同的特征值的证明 401

三、关于特征向量 402

四、矩阵是否相似于对角阵的判别 402

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数 405

六、由特征值、特征向量反求A 405

七、矩阵相似及相似标准形 407

八、相似对角阵的应用 412

练习 415

第六章 二次型 417

考点与要求 417

内容精讲 417

1二次型的概念、矩阵表示 417

一、二次型概念 417

二、二次型的矩阵表示 417

2化二次型为标准形、规范形 合同二次型 418

一、二次型的标准形，规范形 418

二、化二次型为标准形，规范形 418

三、合同矩阵，合同二次型 419

3正定二次型、正定矩阵 420

例题分析 420

一、二次型的矩阵表示 420

二、化二次型为标准形 421

三、合同矩阵、合同二次型 426

四、正定性的判别与证明 428

五、二次型的应用 431

练习 433

第三篇 概率论与数理统计 437

第一章 随机事件和概率 437

考点与要求 437

1事件、样本空间、事件间的关系与运算 437

内容精讲 437

例题分析 439

2概率、条件概率、独立性和五大公式 441

内容精讲 441

例题分析 442

3古典概型与伯努利概型 447

内容精讲 447

例题分析 448

练习 450

第二章 随机变量及其概率分布 451

考点与要求 451

1随机变量及其分布函数 451

内容精讲 451

例题分析 452

2离散型随机变量和连续型随机变量 452

内容精讲 452

例题分析 453

3常用分布 455

内容精讲 455

例题分析 458

4随机变量函数的分布 461

内容精讲 461

例题分析 461

练习 463

第三章 多维随机变量及其分布 464

考点与要求 464

1二维随机变量及其分布 464

内容精讲 464

例题分析 466

2随机变量的独立性 471

内容精讲 471

例题分析 471

3二维均匀分布和二维正态分布 478

内容精讲 478

例题分析 479

4两个随机变量函数Z＝g（X，Y）的分布 481

内容精讲 481

例题分析 482

练习 488

第四章 随机变量的数字特征 490

考点与要求 490

1随机变量的数学期望和方差 490

内容精讲 490

例题分析 492

2矩、协方差和相关系数 499

内容精讲 499

例题分析 500

练习 506

第五章 大数定律和中心极限定理 508

考点与要求 508

内容精讲 508

例题分析 509

练习 511

第六章 数理统计的基本概念 512

考点与要求 512

1总体、样本、统计量和样本数字特征 512

内容精讲 512

例题分析 513

2常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布 515

内容精讲 515

例题分析 517

练习 521

第七章 参数估计 523

考点与要求 523

1点估计 523

内容精讲 523

例题分析 523

2估计量的求法和区间估计 528

内容精讲 528

例题分析 530

练习 535

第八章 假设检验 537

考点与要求 537

内容精讲 537

例题分析 538

练习 542

章后练习参考答案 543

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