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第1章 集合与映射 1

1.1 集合 1

1.1.1 集合的概念 1

1.1.2 集合的运算 2

习题1.1 4

1.2 映射与函数 4

1.2.1 集合之间的映射 4

1.2.2 函数 5

习题1.2 9

1.3 集合的势与可数集 10

习题1.3 12

1.4 确界存在定理 12

习题1.4 15

1.5 平面上的极坐标系 16

习题1.5 17

第2章 数列极限 18

2.1 数列的极限 18

2.1.1 数列极限的定义 18

2.1.2 极限定义的否定形式 21

习题2.1 22

2.2 数列极限的性质和运算 22

习题2.2 28

2.3 无穷小和无穷大 29

2.3.1 无穷小 29

2.3.2 无穷大 31

2.3.3 Stolz定理 32

习题2.3 35

2.4 单调数列的极限及其应用 36

习题2.4 41

2.5 实数连续性的基本定理 42

习题2.5 48

2.6 上极限与下极限的概念及性质 49

习题2.6 54

第3章 函数极限与连续 55

3.1 函数极限 55

3.1.1 函数极限的定义 55

3.1.2 函数极限的性质 57

习题3.1 62

3.2 其他过程的函数极限 63

习题3.2 66

3.3 连续函数 67

3.3.1 连续函数的定义 67

3.3.2 连续函数的性质 68

3.3.3 不连续点的类型 70

3.3.4 利用连续性求函数极限 72

习题3.3 73

3.4 无穷小与无穷大的阶 74

3.4.1 无穷小的阶 74

3.4.2 无穷大的阶 75

3.4.3 无穷小和无穷大的表示及1∞型极限求解 77

习题3.4 79

3.5 函数的一致连续性 80

习题3.5 83

3.6 有限闭区间上连续函数的性质 83

习题3.6 87

第4章 函数的导数 89

4.1 导数的定义 89

习题4.1 94

4.2 导数的运算规则 95

习题4.2 101

4.3 隐函数求导和参数方程求导 103

4.3.1 隐函数求导 103

4.3.2 参数方程求导 104

习题4.3 105

4.4 高阶导数 106

习题4.4 111

4.5 微分中值定理 112

习题4.5 120

4.6 利用导数研究函数的性质 121

4.6.1 函数的单调性 121

4.6.2 函数的极值 125

4.6.3 函数的凹凸性 129

习题4.6 135

4.7 L’Hospital法则 137

习题4.7 143

第5章 泰勒（Taylor）公式 145

5.1 函数的微分 145

5.1.1 微分的定义 145

5.1.2 微分基本公式与运算法则 146

5.1.3 高阶微分 148

习题5.1 149

5.2 Taylor公式 149

5.2.1 带Pean0余项的Taylor定理 150

5.2.2 带Lagrange余项的Taylor定理 156

习题5.2 160

第6章 不定积分 163

6.1 不定积分的概念 163

6.1.1 基本积分公式 164

6.1.2 不定积分的线性性质 165

习题6.1 166

6.2 换元积分法和分部积分法 167

6.2.1 换元积分法 167

6.2.2 分部积分法 173

习题6.2 175

6.3 有理函数及可化为有理函数的不定积分 177

6.3.1 有理函数的不定积分 177

6.3.2 三角函数有理式不定积分 180

6.3.3 简单无理式的积分 182

习题6.3 183

第7章 定积分 185

7.1 定积分的概念 185

7.1.1 曲边梯形面积 185

7.1.2 变速直线运动的路程 186

7.1.3 定积分的定义 186

7.1.4 定积分的几何意义 187

习题7.1 188

7.2 可积条件和定积分的性质 188

7.2.1 可积的必要条件 188

7.2.2 有界函数可积的充要条件 189

7.2.3 定积分的基本性质 190

7.2.4 可积函数类 193

7.2.5 积分中值定理 195

习题7.2 196

7.3 微积分基本定理 197

习题7.3 205

第8章 定积分的应用 207

8.1 平面图形的面积 208

8.1.1 直角坐标系情形 208

8.1.2 极坐标系情形 210

习题8.1 211

8.2 旋转体的体积和旋转曲面的面积 211

8.2.1 平行截面面积为已知的立体体积 211

8.2.2 旋转体体积 212

8.2.3 旋转曲面的面积 213

习题8.2 214

8.3 平面曲线的弧长与曲率 215

8.3.1 平面曲线的弧长 215

8.3.2 曲率 218

习题8.3 219

8.4 定积分在物理中的应用 220

8.4.1 液体的压力和压强 220

8.4.2 变力做功 221

8.4.3 转动惯量 221

习题8.4 222

第9章 广义积分 223

9.1 无穷区间上的广义积分 224

习题9.1 227

9.2 非负函数无穷积分的收敛性判别 227

习题9.2 230

9.3 一般函数无穷积分的收敛性判别法 231

9.3.1 无穷积分收敛的充分必要条件 231

9.3.2 无穷积分的绝对收敛 232

9.3.3 函数乘积积分的收敛判别法 232

习题9.3 236

9.4 瑕积分 237

9.4.1 瑕积分的概念 237

9.4.2 瑕积分收敛的判别方法 239

9.4.3 Г函数与B函数 242

习题9.4 243

第10章 常微分方程 245

10.1 微分方程的基本概念 245

习题10.1 246

10.2 一阶微分方程的解法 247

10.2.1 变量分离方程 247

10.2.2 齐次方程 248

10.2.3 一阶线性微分方程 251

10.2.4 伯努利（Bernoulli）方程 252

习题10.2 254

10.3 二阶常系数线性微分方程的解法 254

10.3.1 二阶线性微分方程解的结构 254

10.3.2 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 256

10.3.3 二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 257

习题10.3 260

附 录 261

附录1常用几何曲线图示 261

附录2计算机辅助数学分析学习举例 264

参考文献 267

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