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高等数学 1

第一讲 函数、极限、连续 1

大纲要求 1

知识讲解 1

题型一 函数的概念与性质 2

题型二 夹逼定理 5

题型三 单调有界准则 6

题型四 无穷小的比较 10

题型五 普通未定式求极限 12

题型六 必须考察左、右极限的几种函数 12

题型七 已知极限值，极限中待求常数的求法 13

题型八 无限项之积的极限的求法 13

题型九 讨论分段函数在分段点处的连续性 16

题型十 讨论极限函数的连续性 16

题型十一 间断点的判断 16

题型十二 闭区间上连续函数性质的应用 16

第二讲 导数与微分 18

大纲要求 18

知识讲解 18

题型一 导数的概念与定义 19

题型二 求导法则 21

题型三 分段函数可导性的判别及其导数得求法 22

题型四 绝对值函数的可导性判断及导数求法 22

题型五 高阶导数 24

第三讲 微分学中值定理及其应用 25

大纲要求 25

知识讲解 25

题型一 出现一个中值的中值等式命题的证法 29

题型二 两个或两个以上中值的中值等式证法 31

题型三 中值不等式命题的证法 31

题型四 区间上成立的函数不等式的证法 32

题型五 利用函数的性态讨论方程根的个数 32

题型六 利用洛必达法则求极限 34

题型七 利用泰勒公式求极限 37

题型八 求最值 41

题型九 凹凸性与拐点 41

题型十 渐近线 43

第四讲 不定积分 44

大纲要求 44

知识讲解 44

题型一 原函数问题 45

题型二 第一换元法（凑微分法）的常见类型 48

题型三 用分部积分法求不定积分的技巧 52

题型四 有理函数积分的计算（数一、数二） 55

题型五 无理函数的不定积分的求法 55

第五讲 定积分及应用 57

大纲要求 57

知识讲解 57

题型一 利用定积分定义求极限 58

题型二 奇偶函数的积分性质 61

题型三 变限积分的导数 61

题型四 变限积分性质的讨论与证明 61

题型五 极限变量仅含在被积函数中的定积分极限的求证法 61

题型六 与定积分或变限积分有关的方程，其根存在性的证法 61

题型七 用定积分的换元积分法结论计算 64

题型八 分部积分 64

题型九 反常积分敛散性的判别 69

题型十 反常积分求解 70

题型十一 平面图形的面积 73

题型十二 体积求解 77

题型十三 弧长求解（数一、数二） 78

题型十四 定积分的物理应用 78

第六讲 常微分方程 80

大纲要求 80

知识讲解 80

题型一 可分离变量与齐次微分方程 82

题型二 一阶线性方程的解法 82

题型三 可降阶微分方程（数一、二） 82

题型四 二阶常系数线性齐次方程的解法 85

题型五 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 85

题型六 叠加原理的运用 86

题型七 特殊的微分方程 86

题型八 已知微分方程的解，反求其微分方程 86

题型九 利用微分方程求解几类函数方程 87

题型十 微分方程在几何上应用举例 87

题型十一 微分方程在物理上应用举例 87

第七讲 向量代数与空间解析几何（仅数一） 89

大纲要求 89

知识讲解 89

题型一 向量 90

题型二 平面方程与直线方程 94

题型三 位置关系 94

题型四 距离 95

题型五 旋转曲面方程 99

题型六 空间曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线的求法 100

题型七 投影 100

第八讲 多元函数微分法及其应用 101

大纲要求 101

知识讲解 101

题型一 用一元函数极限方法求解多元函数极限 102

题型二 用夹逼准则求解多元函数极限 103

题型三 多元显函数的一阶偏导数的求法 105

题型四 多元复合函数高阶导数的计算 105

题型五 隐函数的偏导数求法 106

题型六 由方程组确定的隐函数，其偏导数的求法 106

题型七 偏导数结合方程关系的问题 106

题型八 验证是否可微 107

题型九 多元函数的全微分求法 107

题型十 方向导数与梯度（仅数一） 110

题型十一 多元函数的无条件极值的求法 118

题型十二 多元函数的条件极值的求法 118

第九讲 重积分 119

大纲要求 119

知识讲解 119

题型一 在哪些情况下需调换二次积分的次序 125

题型二 二重积分需分区域积分的几种情况 126

题型三 极坐标与变量替换 126

题型四 利用奇偶对称，轮换对称求解 127

题型五 被积函数不是初等函数 127

题型六 利用二重积分的几何意义或物理意义简化计算 128

题型七 二重积分（或可化为二重积分）的等式和不等式证法 128

题型八 由重积分定义的函数的求法 129

题型九 由重积分定义的函数的极限的求法 129

题型十 三重积分用先二后一法计算 137

题型十一 计算三重积分如何选择坐标系 138

题型十二 利用奇偶对称性简化三重积分的计算 139

题型十三 利用轮换对称性简化计算 139

题型十四 重积分应用：立体体积的算法 140

题型十五 重积分应用：曲面面积的求法 140

题型十六 重积分应用：求重心（形心） 140

题型十七 重积分应用：求转动惯量 141

第十讲 无穷级数（数一、数三） 142

大纲要求 142

知识讲解 142

题型一 正项级数敛散性的判别方法 146

题型二 交错级数敛散性的判别方法 148

题型三 任意项级数敛散性的判别法 149

题型四 常数项级数敛散性的证法 149

题型五 幂级数收敛域的求法 152

题型六 不是幂级数的函数项级数，其收敛域的求法 152

题型七 幂级数的和函数的求法 154

题型八 函数展为幂级数的方法 154

题型九 收敛的常数项级数的和的求法 154

题型十 与傅里叶级数有关的几类问题的解法 159

第十一讲 曲线积分与曲面积分（仅数一） 160

大纲要求 160

知识讲解 160

题型一 计算第一类曲线积分的方法与技巧 163

题型二 利用对称性简化积分计算 164

题型三 第二类曲线积分的算法 164

题型四 计算第一类曲面积分的方法与技巧 170

题型五 利用对称性简化计算 170

题型六 计算第二类曲面积分的方法与技巧 171

题型七 曲线积分的应用 171

题型八 积分与路径无关 180

题型九 正确应用格林公式 181

题型十 全微分方程 182

题型十一 如何应用高斯公式计算曲面积分 182

题型十二 梯度、散度、旋度的综合计算 183

题型十三 第二类（对坐标的）空间曲线积分的算法 184

第十二讲 数学的经济应用（仅数学三） 185

大纲要求 185

知识讲解 185

题型一 差分方程 186

题型二 边际与弹性 187

题型三 价值与利息 188

线性代数 189

第一讲 行列式 189

大纲要求 189

知识讲解 189

题型一 行列式的定义与性质 195

题型二 抽象行列式的计算 196

题型三 行列式与方程结合的问题 196

题型四 行列式的展开计算 198

题型五 几种特殊的行列式 198

题型六 范德蒙行列式 200

题型七 克莱姆法则 202

第二讲 矩阵 203

大纲要求 203

知识讲解 203

题型一 矩阵的运算 210

题型二 矩阵的行列式 210

题型三 逆矩阵直接求解 212

题型四 伴随矩阵问题 212

题型五 恒等变形求逆矩阵 212

题型六 求解矩阵方程 213

题型七 初等矩阵的运算 218

题型八 分块矩阵的计算 220

第三讲 向量 221

大纲要求 221

知识讲解 221

题型一 判断线性相关、线性无关 227

题型二 判断能否线性表出 228

题型三 向量组的秩，矩阵的秩 228

题型四 已知秩，求待定常数 229

题型五 正交矩阵 232

题型六 向量空间 232

第四讲 线性方程组 234

大纲要求 234

知识讲解 234

题型一 判断齐次线性方程组解的情况 237

题型二 基础解系相关讨论 237

题型三 已知解，反求方程组 237

题型四 非齐次线性方程组的解的结构 240

题型五 非齐次线性方程组求解 240

题型六 方程组与向量结合的问题 240

题型七 方程组公共解、同解问题 241

第五讲 特征值、特征向量、相似对角化 243

大纲要求 243

知识讲解 243

题型一 特征值与特征向量的概念与性质 247

题型二 特征值与特征向量的计算 247

题型三 相关矩阵的特征值、特征向量 247

题型四 判断是否可对角化 250

题型五 判断两个矩阵是否相似 251

题型六 对角化的计算 252

题型七 用对角阵求高次幂 253

题型八 已知特征值、特征向量，反求矩阵 253

第六讲 二次型 254

大纲要求 254

知识讲解 254

题型一 二次型的定义 255

题型二 化二次型为标准型、规范型 258

题型三 已知标准型，确定二次型 258

题型四 判断两个矩阵是否合同 258

题型五 判别或证明具体二次型的正定性 260

题型六 判别或证明抽象二次型的正定性 260

题型七 确定参数的取值范围使其正定 260

概率论与数理统计（数一、数三） 261

第一讲 随机事件和概率 261

大纲要求 261

知识讲解 261

题型一 古典概型 265

题型二 几何概型 265

题型三 事件的关系与运算律 266

题型四 和、差、积事件的概率 266

题型五 条件概率 270

题型六 全概率公式与贝叶斯公式 270

题型七 事件的独立性 270

第二讲 一维随机变量及其分布 271

大纲要求 271

知识讲解 271

题型一 一维随机变量分布函数的概念及性质 277

题型二 离散型随机变量分布律 278

题型三 连续型随机变量的概念与计算 278

题型四 用常见分布计算有关事件的概率 279

题型五 二次方程有根、无根的概率 279

题型六 一维随机变量函数的分布 281

第三讲 二维随机变量及其分布 282

大纲要求 282

知识讲解 282

题型一 二维离散型随机变量的分布律 285

题型二 二维连续型随机变量概率密度 289

题型三 二维连续型随机变量分布函数 289

题型四 条件概率密度 289

题型五 两个连续型随机变量函数的分布 293

题型六 卷积公式的运用 293

题型七 离散型与连续型函数的分布 294

第四讲 随机变量的数字特征 295

大纲要求 295

知识讲解 295

题型一 期望与方差的计算 299

题型二 随机变量函数的期望与方差 299

题型三 随机变量最大、最小值的期望与方差 300

题型四 已知期望，求概率 300

题型五 协方差与相关系数 304

题型六 不相关与独立 304

第五讲 大数定律和中心极限定理 305

大纲要求 305

知识讲解 305

题型一 用切比雪夫不等式估计事件的概率 309

题型二 大数定律 310

题型三 中心极限定理 310

第六讲 数理统计的基本概念 311

大纲要求 311

知识讲解 311

题型一 求统计量分布有关的基本概念问题 317

题型二 求统计量的分布及其分布参数 317

题型三 求统计量取值的概率 318

第七讲 参数估计与假设检验 319

大纲要求 319

知识讲解 319

题型一 矩估计与最大似然估计 322

题型二 估计量的评选标准（数一） 324

题型三 区间估计（数一） 326

题型四 两类错误概率（数一） 331

题型五 假设检验（数一） 331

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