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第8章 向量代数与空间解析几何 1

8.1 空间直角坐标系 1

8.1.1 空间直角坐标系的建立 1

8.1.2 点的坐标的确定 2

8.1.3 空间中两点间的距离 2

习题8.1 3

8.2 向量及其线性运算 4

8.2.1 向量的概念 4

8.2.2 向量的加法 4

8.2.3 向量的减法 5

8.2.4 向量与数的乘法 5

8.2.5 线性运算的抽象化 7

习题8.2 8

8.3 向量的坐标表达式 8

8.3.1 向径的坐标表达式 8

8.3.2 一般向量的坐标表达式 9

8.3.3 向量线性运算的坐标表达形式 10

8.3.4 向量的模与方向余弦 11

8.3.5 向量在轴上的投影 12

习题8.3 13

8.4 向量的乘积 13

8.4.1 两个向量的数量积 13

8.4.2 两个向量的向量积 15

习题8.4 18

8.5 平面及其方程 19

8.5.1 平面的点法式方程 19

8.5.2 平面的一般式方程 20

8.5.3 平面的截距式方程 22

8.5.4 两平面的夹角及两平面垂直或平行的条件 23

8.5.5 点到平面的距离 24

习题8.5 25

8.6 空间直线及其方程 25

8.6.1 空间直线的一般式方程 26

8.6.2 空间直线的对称式方程与参数方程 27

8.6.3 两直线的夹角及两直线的平行或垂直的条件 28

8.6.4 直线与平面的夹角 29

习题8.6 31

8.7 曲面及其方程 32

8.7.1 曲面的方程 32

8.7.2 球面及其方程 33

8.7.3 旋转曲面及其方程 33

8.7.4 柱面及其方程 35

习题8.7 37

8.8 空间曲线及其方程 37

8.8.1 空间曲线的一般方程 37

8.8.2 空间曲线的参数方程 39

8.8.3 空间曲线在坐标平面上的投影 40

习题8.8 41

8.9 二次曲面 42

8.9.1 椭球面 43

8.9.2 椭圆锥面 44

8.9.3 单叶双曲面 44

8.9.4 双叶双曲面 44

8.9.5 椭圆抛物面 44

8.9.6 双曲抛物面 45

习题8.9 45

8.10 综合例题选讲 45

8.11 空间解析几何与向量代数的MATLAB实现 54

习题8.11 59

综合练习8 59

第9章 多元函数微分学 62

9.1 多元函数的基本概念 62

9.1.1 区域 62

9.1.2 二元函数的概念 64

9.1.3 二元函数的极限 65

9.1.4 二元函数的连续性 66

习题9.1 68

9.2 偏导数 69

9.2.1 偏导数的概念 69

9.2.2 偏导数的计算 70

9.2.3 偏导数的几何意义 71

9.2.4 偏导数的经济意义 72

9.2.5 高阶偏导数 72

习题9.2 74

9.3 全微分 75

9.3.1 全微分的概念 75

9.3.2 可微分的条件 76

9.3.3 全微分在近似计算中的应用 77

习题9.3 78

9.4 复合函数微分法 78

9.4.1 全导数 78

9.4.2 多个自变量复合的情形 80

9.4.3 全微分形式的不变性 82

9.4.4 复合函数的高阶偏导数 83

习题9.4 83

9.5 隐函数的微分法 84

9.5.1 一个方程确定的隐函数 84

9.5.2 方程组确定的隐函数 86

习题9.5 88

9.6 方向导数与梯度 89

9.6.1 方向导数 89

9.6.2 梯度 91

习题9.6 93

9.7 多元函数微分学在几何上的应用 94

9.7.1 空间曲线的切线和法平面 94

9.7.2 曲面的切平面与法线 97

习题9.7 98

9.8 多元函数的极值 99

9.8.1 二元函数极值的概念 99

9.8.2 二元函数极值存在的必要条件 99

9.8.3 二元函数极值存在的充分条件 100

9.8.4 最大值与最小值 102

习题9.8 103

9.9 最小二乘法 103

习题9.9 105

9.10 约束最优化问题 105

9.10.1 约束最优化问题的提法 105

9.10.2 拉格朗日乘数法 106

习题9.10 109

9.11 多元函数微分学的MATLAB实现 110

习题9.11 113

综合练习9 113

第10章 重积分 115

10.1 二重积分 115

10.1.1 二重积分的引入 115

10.1.2 二重积分的定义 116

10.1.3 二重积分的性质 117

习题10.1 119

10.2 二重积分的计算 119

10.2.1 二重积分在直角坐标系中的计算 119

10.2.2 二重积分在极坐标系中的计算 123

习题10.2 126

10.3 三重积分 127

10.3.1 三重积分的定义及性质 127

10.3.2 三重积分在直角坐标系中的计算 128

10.3.3 三重积分在柱面坐标系中的计算 131

10.3.4 三重积分在球面坐标系中的计算 132

习题10.3 133

10.4 重积分的应用 134

10.4.1 二重积分在几何上的应用 135

10.4.2 二重积分在物理上的应用 137

习题10.4 141

10.5 典型例题选讲 141

10.6 重积分的MATLAB实现 145

10.6.1 计算积分的MATLAB符号法 145

10.6.2 重积分的数值积分法 146

习题10.6 148

综合练习10 149

第11章 曲线积分与曲面积分 151

11.1 对弧长的曲线积分 151

11.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质 151

11.1.2 对弧长的曲线积分的计算 153

习题11.1 155

11.2 对坐标的曲线积分 155

11.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质 155

11.2.2 对坐标的曲线积分的计算法 158

11.2.3 两类曲线积分的关系 162

习题11.2 163

11.3 格林公式及其应用 164

11.3.1 格林公式 164

11.3.2 平面上曲线积分与路径无关的条件 167

11.3.3 二元函数的全微分求积 168

习题11.3 171

11.4 对面积的曲面积分 172

11.4.1 对面积的曲面积分的概念 172

11.4.2 对面积的曲面积分的计算法 173

习题11.4 175

11.5 对坐标的曲面积分 175

11.5.1 有向曲面的概念 175

11.5.2 对坐标的曲面积分的概念 176

11.5.3 对坐标的曲面积分的计算 179

11.5.4 两类曲面积分之间的联系 182

习题11.5 184

11.6 高斯公式与斯托克斯公式 185

11.6.1 高斯公式 185

11.6.2 斯托克斯公式 188

11.6.3 空间曲线积分与路径无关的条件 191

习题11.6 192

11.7 场论初步 193

11.7.1 场的概念 193

11.7.2 梯度场 194

11.7.3 散度场 194

11.7.4 旋度场 196

习题11.7 197

综合练习11 198

第12章 无穷级数 200

12.1 常数项级数 200

12.1.1 常数项级数的概念 200

12.1.2 级数的基本性质 203

习题12.1 205

12.2 常数项级数敛散性判别 205

12.2.1 正项级数审敛准则 205

12.2.2 任意项级数审敛法则 210

习题12.2 213

12.3 幂级数 213

12.3.1 函数项级数的概念 213

12.3.2 幂级数及其敛散性 214

12.3.3 幂级数收敛半径与收敛区间 216

12.3.4 幂级数的运算性质 217

习题12.3 219

12.4 函数展开成幂级数 219

12.4.1 泰勒级数 219

12.4.2 函数展开成幂级数 221

12.4.3 函数的幂级数展开式在近似计算中的应用 225

习题12.4 228

12.5 傅里叶级数 228

12.5.1 三角级数、正交函数系 228

12.5.2 以2π为周期的函数的傅里叶级数 229

12.5.3 以2l为周期的函数的傅里叶级数 231

习题12.5 233

12.6 有限区间上函数的傅里叶展开式 234

12.6.1 在［-π，π］上函数的傅里叶展开式 234

12.6.2 在［-l，l］上函数的傅里叶展开式 236

12.6.3 在［0，π］或［0，l］上函数展成正弦级数或余弦级数 237

习题12.6 240

12.7 MATLAB在级数运算中的应用 240

12.7.1 级数求和的MATLAB实现 240

12.7.2 函数展开成泰勒级数 241

习题12.7 242

综合练习12 242

部分习题参考答案与提示 244

参考文献 256

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