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引言 1

1 孤立波的发现 1

2 KdV方程 2

3 FPU问题 4

4 孤立子 5

5 反散射方法 7

6 本书的内容与目的 10

引言部分的参考文献 12

第一章 线性发展方程 17

1.1 线性波动方程 行波与驻波 17

1.2 一般线性发展方程 色散关系 21

1.3 色散波动 23

1.4 Fourier积分解及其渐近状态 28

1.5 相速与群速 31

习题 36

第二章 拟线性双曲型方程初步 38

2.1 方程的引出 38

2.2 解的局部存在性 41

2.3 线性与拟线性双曲型方程的比较 46

2.4 广义解 冲击波 52

习题 56

第三章 Burgers方程 Cole-Hopf变换 58

3.1 Burgers方程的引出 59

3.2 定态解及其性质 63

3.3 Cole-Hopf变换 初值问题 69

3.4 混合问题 77

3.5 高阶Burgers方程 83

习题 87

第四章 KdV方程 孤立波的互相作用 90

4.1 KdV方程的引出 91

4.2 孤立波与孤立子 96

4.3 KdV方程的孤立波列 100

4.4 孤立波的互相作用 107

4.5 其他方程的孤立波解 112

习题 122

第五章 KdV方程的无穷多守恒律 125

5.1 守恒律及其意义 125

5.2 首先发现的几个守恒律 127

5.3 无穷多个守恒律的存在性 128

5.4 KdV方程的守恒律与对称 133

习题 143

第六章 解KdV方程初值问题的IST方法 146

6.1 Schr？dinger方程的重要性质 散射与反散射问题 147

6.2 散射数据随时间t的发展 153

6.3 解KdV方程的IST方法 161

6.4 KdV方程的N—孤立子解 165

6.5 Gel'fand—Levitan积分方程的导出 186

习题 198

第七章 IST方法的发展 202

7.1 Lax的推广 202

7.2 非线性Schr？dinger方程的IST解法 211

7.3 AKNS的推广 226

7.4 IST方法作为R-H问题简介 240

习题 249

第八章 B？cklund变换 255

8.1 BT的定义及例子 256

8.2 Sine-Gordon方程BT的求法 260

8.3 BT与AKNS系统 264

8.4 互换定理 非线性叠加公式 271

8.5 BT与IST的关系 279

习题 286

第九章 IST可解方程作为完全可积的Hamilton运动方程组 290

9.1 发展方程的守恒泛函 291

9.2 KdV方程的守恒泛函 294

9.3 Hamilton力学概要 297

9.4 KdV方程作为完全可积的Hamilton运动方程组 300

习题 310

第十章 Painleve’性质与IST的关系 313

10.1 Painleve’性质 313

10.2 Painleve’性质与IST的关系 316

10.3 奇异点分析 319

10.4 PDE的Painleve’性质 324

习题 327

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