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第1章 函数 1

1.1 函数及其图像 1

1．函数的定义域和值域 1

2．函数的图像 2

3．函数的垂直线测试 3

4．函数的例子 4

1.2 函数的特性 6

1．函数的有界性 6

2．函数的单调性 7

3．函数的对称性 7

4．函数的周期性 8

1.3 函数的运算 8

1．函数的四则运算 8

2．函数的复合 9

3．函数的变换 10

1.4 初等函数 11

1．基本初等函数 11

2．初等函数 13

习题1 13

第2章 极限 15

2.1 数列的极限 15

1．收敛数列的定义 15

2．收敛数列的性质 17

2.2 函数的极限 17

1．函数在x→x0时的极限 17

2．单侧极限 20

3．函数在x→∞时的极限 22

4．无穷极限 23

5．极限的性质 23

2.3 极限运算法则 24

2.4 极限存在准则和两个重要极限 28

2.5 函数的连续性 32

1．在一点处的连续性 33

2．间断点的几种常见类型 34

3．区间上的连续性 35

4．连续函数的运算 36

5．闭区间上连续函数的性质 37

2.6 无穷小量和无穷大量 39

1．无穷小量 39

2．无穷大量 40

3．无穷小量的比较 40

习题2 42

第3章 导数和微分 45

3.1 导数的概念 45

1．引例 45

2．函数在一点处的导数 47

3．单侧导数 49

4．函数的导数 50

5．可导与连续的关系 52

3.2 求导法则 53

1．常数乘法法则 53

2．和法则 54

3．差法则 54

4．乘积法则 55

5．商法则 55

6．反函数求导法则 57

7．基本初等函数的导数公式 59

8．链式法则 59

3.3 高阶导数 61

3.4 隐函数及由参数方程确定的函数的导数 64

1．隐函数的导数 64

2．由参数方程确定的函数的导数 67

3.5 微分和近似 69

1．微分的定义 70

2．微分法则 71

3．基本初等函数的微分公式 72

4．函数的线性近似 72

习题3 73

第4章 导数的应用 76

4.1 微分中值定理 76

4.2 洛必达法则 83

4.3 函数的单调性判别法 87

1．函数的一阶导数与单调性 87

2．二阶导数和凹性 89

4.4 最大值和最小值 92

1．存在性问题 92

2．最值在哪里出现？ 92

3．如何求最值？ 95

4.5 局部极值与开区间上的局部极值 97

1．局部极值存在于何处？ 98

2．开区间上的最值 102

4.6 作函数的图像 103

习题4 106

第5章 不定积分 108

5.1 不定积分的概念与性质 108

1．原函数与不定积分的概念 108

2．基本积分公式 110

3．不定积分的性质 112

5.2 换元积分法 114

1．第一换元法 114

2．第二换元法 120

5.3 分部积分法 123

5.4 有理函数的不定积分 126

1．有理函数的不定积分 126

2．三角函数有理式的不定积分 128

3．简单无理函数的不定积分 129

习题5 130

第6章 定积分 132

6.1 定积分的概念与性质 132

1．定积分问题举例 132

2．定积分的定义 133

3．定积分的几何意义 135

4．定积分的性质 137

6.2 微积分基本公式 140

1．积分上限函数及其导数 140

2．牛顿-莱布尼茨公式 140

6.3 定积分的换元法和分部积分法 143

1．定积分的换元法 143

2．定积分的分部积分法 147

6.4 反常积分 148

1．无穷限的反常积分 148

2．无界函数的反常积分 151

6.5 定积分的应用 154

1．微元法 154

2．在几何中的应用 155

3．在经济中的应用 166

4．在物理中的应用 167

习题6 168

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