微积分和数学分析引论 第2卷 x1d第2分册PDF电子书下载

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第四章 多重积分 497

4.1平面上的面积 497

a.面积的若尔当测度的定义 497

b.一个没有面积的集合 501

c.面积的运算法则 502

练习4.1 504

4.2二重积分 505

a.作为体积的二重积分 505

b.积分的一般分析概念 507

c.例 510

d.记号、推广、基本法则 513

e.积分估计与中值定理 514

4.3三维及高维区域上的积分 517

4.4空间微分、质量与密度 518

4.5化重积分为累次单积分 519

a.在矩形上的积分 520

b.积分交换次序.积分号下求微分 522

c.在更一般的区域上化二重积分为单重积分 523

d.在多维区域中的推广 528

4.6重积分的变换 530

a.平面上的积分的变换 530

b.高于二维的区域 535

练习4.6 536

4.7广义多重积分 538

a.有界集上函数的广义积分 539

b.广义积分一般收敛定理的证明 543

c.无界区域上的积分 546

练习4.7 549

4.8在几何中的应用 550

a.体积的初等计算 550

b.体积计算的一般性附注.旋转体在球坐标系中的体积 552

c.曲面的面积 554

练习4.8 563

4.9在物理中的应用 564

a.矩和质心 564

b.惯性矩 567

c.复合摆 569

d.吸引质量的势 572

练习4.9 575

4.10在曲线坐标中的重积分 579

a.重积分的分解 579

b.应用到移动曲线扫过的面积和移动曲面扫过的体积.古鲁金公式.配极求积仪 582

4.11任意维数的体积和曲面面积 587

a.高于三维的曲面面积和曲面积分 587

b.n维空间中的球体面积和体积 589

c.推广.参数表示 593

练习4.11 596

4.12作为参数的函数的广义单积分 597

a.一致收敛性.对参数的连续依赖性 597

b.广义积分对参数的微分法和积分法 600

c.例 603

d.菲涅尔积分值的计算 609

练习4.12 610

4.13傅里叶积分 612

a.引言 612

b.例 614

c.傅里叶积分定理的证明 616

d.傅里叶积分定理的收敛速度 620

e.傅里叶变换的帕塞瓦尔等式 624

f.多元函数的傅里叶变换 626

练习4.13 633

4.14欧拉积分（伽玛函数） 633

a.定义和函数方程 633

b.凸函数.波尔-摩尔路波定理的证明 635

c.伽玛函数的无穷乘积 640

d.延拓定理 644

e.贝塔函数 646

f.分数次微商和积分，阿贝尔积分方程 649

练习4.14 650

附录：积分过程的详细分析 653

A.1面积 653

a.平面的分划和相应的内、外面积 653

b.若尔当可测集及其面积 655

c.面积的基本性质 658

A.2多元函数的积分 663

a.函数f（x，y）的积分的定义 663

b.连续函数的可积性与在集合上的积分 665

c.重积分的基本法则 668

d.化重积分为累次单积分 670

A.3面积与积分的变换 674

a.集合的映射 674

b.重积分的变换 679

A.4关于曲面面积定义的附注 680

第五章 曲面积分和体积分之间的关系 683

5.1线积分和平面上的重积分之间的联系（高斯，斯托克斯和格林的积分定理） 683

5.2散度定理的向量形式.斯托克斯定理 691

练习5.2 695

5.3二维分部积分公式.格林定理.散度定理 696

5.4散度定理应用于重积分的变量替换 697

a.1-1映射的情形 697

b.积分的变量替换和映射度 701

5.5面积微分，将Δu变到极坐标的变换 705

5.6用二维流动解释格林和斯托克斯公式 710

5.7曲面的定向 716

a.三维空间中二维曲面的定向 716

b.在定向曲面上曲线的定向 727

练习5.7 728

5.8曲面上微分形式和数量函数的积分 729

a.定向平面区域上的重积分 729

b.二阶微分形式的曲面积分 732

c.定向曲面上微分形式的积分和非定向曲面上数量函数的积分之间的关系 734

5.9空间情形的高斯定理和格林定理 738

a.高斯定理 738

练习5.9a 742

b.高斯定理在流体流动中的应用 742

c.高斯定理在空间力和曲面力上的应用 745

d.分部积分和三维空间中的格林定理 748

e.应用格林定理把ΔU变换成球坐标的形式 749

练习5.9e 751

5.10空间斯托克斯定理 752

a.定理的叙述和证明 752

练习5.10a 756

b.斯托克斯定理的物理解释 757

练习5.10b 759

5.11高维积分恒等式 765

附录 曲面和曲面积分的一般理论 768

A.1三维空间中的曲面和曲面积分 768

a.基本曲面 768

b.函数在基本曲面上的积分 771

c.定向基本曲面 772

d.简单曲面 775

e.单位分解以及在简单曲面上的积分 778

A.2散度定理 781

a.定理的叙述及其不变性 781

b.定理的证明 783

A.3斯托克斯定理 786

A.4在高维欧氏空间中的曲面和曲面积分 789

a.基本曲面 789

b.微分形式在定向基本曲面上的积分 791

c.简单m维曲面 792

A.5高维空间中简单曲面上的积分，高斯散度定理和一般的斯托克斯公式 795

第六章 微分方程 799

6.1空间质点运动的微分方程 799

a.运动方程 799

b.能量守恒原理 801

c.平衡.稳定性 804

d.在平衡位置附近的小振动 806

e.行星运动 809

练习6.1e 815

f.边值问题.有载荷的缆与有载荷的梁 817

6.2一般的一阶线性微分方程 823

a.分离变量法 823

b.一阶线性方程 825

练习6.2 826

6.3高阶线性微分方程 828

a.叠加原理.通解 828

b.二阶齐次微分方程 833

练习6.3b 835

c.非齐次微分方程.参数变易法 837

练习6.3c 841

6.4一般的一阶微分方程 843

a.几何解释 843

b.曲线族的微分方程.奇解.正交轨线 845

c.解的存在唯一性定理 848

练习6.4 852

6.5微分方程组和高阶微分方程 856

练习6.5 857

6.6用待定系数法求积分 858

练习6.6 859

6.7电荷引力的位势和拉普拉斯方程 860

a.质量分布的位势 860

b.位势的微分方程 864

c.均匀双层位势 865

d.平均值定理 868

e.圆的边值问题.泊松（Poisson）积分 870

练习6.7 872

6.8来自数学物理的偏微分方程的其它例子 873

a.一维波动方程 873

b.三维空间的波动方程 875

c.自由空间中的麦克斯韦（Maxwell）方程组 877

练习6.8 880

第七章 变分学 883

7.1函数及其极值 883

7.2泛函极值的必要条件 887

a.第一变分等于零 887

练习7.2a 889

b.欧拉微分方程的推导 889

c.基本引理的证明 893

d.一些特殊情形的欧拉微分方程的解例子 894

练习7.2d 897

e.欧拉表达式恒等于零的情形 898

7.3推广 899

a.具有多于一个自变函数的积分 899

b.例子 902

练习7.3b 903

c.哈密顿原理.拉格朗日方程 904

d.含高阶导数的积分 906

e.多自变量 907

7.4含附带条件的问题.拉格朗日乘子 908

a.通常的附带条件 909

练习7.4a 911

b.其他类型的附带条件 911

练习7.4b 913

第八章 单复变函数 916

8.1幂级数表示的复函数 916

a.极限.复数项的无穷级数 916

b.幂级数 919

c.幂级数的微分法和积分法 920

d.幂级数的例子 923

8.2单复变函数一般理论的基础 925

a.可微性条件 925

b.微分学的最简单运算 928

c.保角变换.反函数 932

8.3解析函数的积分 933

a.积分的定义 933

b.柯西定理 935

c.应用.对数函数，指数函数及一般幂函数 937

8.4柯西公式及其应用 942

a.柯西公式 942

b.解析函数的幂级数展式 944

c.函数论与位势理论 947

d.柯西定理的逆定理 947

e.解析函数的零点，极点和留数 948

8.5留数定理对复积分（围道积分）的应用 950

a.证明公式 950

b.证明公式 951

c.留数定理对于有理函数的积分的应用 952

d.留数定理与常系数微分方程 955

8.6多值函数与解析开拓 956

练习（8.1-8.5节） 960

解答 970

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