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第1章 矢量与张量 1

1.1矢量及其代数运算公式 1

1.1.1矢量 1

1.1.2点积 2

1.1.3叉积 2

1.1.4混合积 3

1.2斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量 5

1.2.1平面内的斜角直线坐标系 5

1.2.2三维空间中的斜角直线坐标系 7

1.2.2.1斜角直线坐标系 7

1.2.2.2协变基矢量 7

1.2.2.3逆变基矢量 8

1.2.2.4由协变基矢量求逆变基矢量 8

1.2.2.5指标升降关系 9

1.3曲线坐标系 10

1.3.1曲线坐标系的定义 10

1.3.2空间点的局部基矢量 11

1.3.3正交曲线坐标系与Lame常数 12

1.4坐标转换 13

1.4.1基矢量的转换关系 13

1.4.2协变与逆变转换系数 14

1.4.3矢量分量的坐标转换关系 14

1.4.4度量张量分量的坐标转换关系 15

1.5并矢与并矢式 15

1.5.1并矢 15

1.5.2缩并 17

1.5.3并矢的点积与双点积 17

1.5.4并矢的相等 18

1.6张量的基本概念 18

1.6.1矢量的分量表示法与实体表示法 18

1.6.2张量的定义与两种表示法 20

1.6.2.1张量的分量表示法 21

1.6.2.2张量的实体表示法（并矢表示法） 22

1.6.3度量张量 23

1.7张量的代数运算 24

1.7.1张量的相等 24

1.7.2张量的相加 24

1.7.3标量与张量相乘 25

1.7.4张量与张量并乘 25

1.7.5张量的缩并 25

1.7.6张量的点积 26

1.7.7转置张量 27

1.7.8张量的对称化与反对称化 27

1.7.9张量的商法则 28

1.8张量的矢积 32

1.8.1置换符号与行列式的展开式 32

1.8.2置换张量（Eddington张量）与？～δ等式 33

1.8.3矢积 36

1.8.3.1两个矢量的矢积 36

1.8.3.2三个矢量的混合积 37

1.8.3.3三个矢量的三重积 38

1.8.3.4张量的矢积 38

习题 39

第2章 二阶张量 45

2.1二阶张量的矩阵 45

2.1.1二阶张量的四种分量所对应的矩阵 45

2.1.2二阶张量的转置，对称、反对称张量及其所对应的矩阵 46

2.1.3二阶张量的行列式 47

2.1.4二阶张量的代数运算与矩阵的代数运算 47

2.2正则与退化的二阶张量 49

2.2.1关于映射的几个定理 49

2.2.2正则与退化 49

2.3二阶张量的不变量 50

2.3.1张量的标量不变量 50

2.3.2二阶张量的三个主不变量 51

2.3.3二阶张量的矩 51

2.4二阶张量的标准形 52

2.4.1实对称二阶张量的标准形 52

2.4.1.1基本概念 52

2.4.1.2对称二阶张量的特征方程 53

2.4.1.3实对称二阶张量的特征根必为实根 54

2.4.1.4实对称二阶张量主方向的正交性 54

2.4.1.5实对称二阶张量所对应的线性变换 54

2.4.1.6主分量是当坐标转换时N的混合分量对角元素之驻值 54

2.4.1.7对称二阶张量标准形的应用 55

2.4.2非对称二阶张量的标准形 56

2.4.2.1特征方程无重根的情况 56

2.4.2.2特征方程有重根的情况 58

2.5几种特殊的二阶张量 63

2.5.1零二阶张量O 63

2.5.2度量张量G 63

2.5.3二阶张量的幂 64

2.5.3.1二阶张量的正整数次幂 64

2.5.3.2二阶张量的零次幂 64

2.5.3.3二阶张量的负整数次幂 64

2.5.4正张量、非负张量及其方根、对数 64

2.5.5二阶张量的值 66

2.5.6反对称二阶张量 66

2.5.6.1定义 66

2.5.6.2反对称二阶张量的主不变量 66

2.5.6.3反对称二阶张量的标准形 66

2.5.6.4反对称二阶张量的反偶矢量 67

2.5.6.5反对称二阶张量Ω所对应的线性变换 68

2.5.7正交张量 68

2.5.7.1定义 68

2.5.7.2正交变换的“保内积”性质 69

2.5.7.3正交张量的并矢表达式 69

2.5.7.4正交张量的标准形 69

2.6二阶张量的分解 71

2.6.1二阶张量的加法分解 71

2.6.1.1球形张量与偏斜张量 72

2.6.1.2利用偏斜张量求对称二阶张量的主分量与主方向 73

2.6.1.3二阶张量标量不变量的进一步分析 75

2.6.2二阶张量的乘法分解（极分解） 78

2.7正交相似张量 79

习题 80

第3章 张量函数及其导数 83

3.1张量函数、各向同性张量函数的定义和例 83

3.1.1什么是张量函数 83

3.1.2张量函数举例 84

3.1.3各向同性张量函数 85

3.2矢量的标量函数 87

3.3二阶张量的标量函数 89

3.4二阶张量的二阶张量函数 91

3.4.1二阶张量的解析函数 91

3.4.2 Hamilton-Cayley等式 92

3.4.3同时化为对角型标准形的函数 94

3.4.4对称张量的对称张量函数 96

3.5张量函数导数的定义，链规则 101

3.5.1有限微分、导数与微分 101

3.5.2张量函数导数的链规则 105

3.5.3两个张量函数乘积的导数 106

3.6矢量的函数之导数 107

3.6.1矢量的标量函数 107

3.6.2矢量的矢量函数 108

3.6.3矢量的二阶张量函数 109

3.6.4张量函数的梯度、散度和旋度 109

3.6.4.1张量函数的梯度 110

3.6.4.2张量函数的散度 110

3.6.4.3张量函数的旋度 111

3.7二阶张量的函数之导数 111

3.7.1二阶张量的标量函数之导数 111

3.7.2二阶张量的不变量的导数 113

3.7.3二阶张量的张量函数之导数 114

习题 116

第4章 曲线坐标张量分析 120

4.1基矢量的导数、Christoffel符号 120

4.1.1协变基矢量的导数及第二类Christoffel符号 121

4.1.2第一类Christoffel符号 122

4.1.3逆变基矢量的导数 123

4.1.4？g对坐标的导数，Γ j ji的计算公式 124

4.1.5坐标转换时Christoffel符号的转换公式 124

4.2张量场函数对矢径的导数、梯度 124

4.2.1有限微分、导数与微分 125

4.2.2梯度 126

4.3张量分量对坐标的协变导数 127

4.3.1矢量场函数的分量对坐标的协变导数 128

4.3.2张量场函数的分量对坐标的协变导数 131

4.3.3协变导数的一些性质 132

4.4张量场函数的散度与旋度 135

4.5积分定理 137

4.5.1预备知识 137

4.5.2 Green变换公式 138

4.5.3 Stokes变换公式 141

4.6 Riemann-Christoffel张量（曲率张量） 144

4.6.1 Euclidean空间与Riemann空间 144

4.6.2 Euclidean空间应满足的条件 146

4.6.3证明R p·rsq是张量分量 148

4.6.4 Riemann-Christoffel张量的性质 149

4.6.5关于张量分量二阶协变导数的Ricci公式、Bianchi恒等式 151

4.7张量方程的曲线坐标分量表示方法 153

4.8非完整系与物理分量 154

4.8.1非完整系 154

4.8.2物理分量 157

4.8.2.1非完整系基矢量的选择 157

4.8.2.2矢量的物理分量 157

4.8.2.3二阶张量的物理分量 158

4.9正交曲线坐标系中的物理分量 159

4.9.1正交标准化基、度量张量与物理分量 159

4.9.2基矢量对坐标的导数 160

4.9.3正交系中张量表达式的物理分量形式 161

习题 163

第5章 曲面上的张量分析 169

5.1曲面的基本知识 169

5.1.1曲面的参数方程与Gauss坐标 169

5.1.2曲面的基本矢量 170

5.1.3曲面的第一基本张量 171

5.1.4曲面的第二基本张量 172

5.1.5曲面上曲线的曲率，曲面的法截面曲率、主曲率、平均曲率与Gauss曲率 173

5.1.5.1曲面上曲线的曲率、Frenet公式 173

5.1.5.2曲面的法截面曲率 175

5.1.5.3曲面的主曲率、平均曲率、Gauss曲率 176

5.1.6曲率线、主坐标、渐近线 178

5.1.7旋转张量 183

5.1.8非完整系与物理分量 184

5.2曲面上基本矢量的求导公式 185

5.2.1法向矢量对坐标的导数（Weingarten公式） 185

5.2.2基矢量对坐标的导数（Gauss求导公式），曲面上的Christoffel符号 186

5.2.3第一基本张量分量的导数与协变导数 187

5.2.4单位矢量的求导公式 188

5.3曲面的基本方程，Riemann-Christoffel张量 189

5.3.1 Codazzi方程与Gauss方程 189

5.3.2 Riemann-Christoffel张量 190

5.3.3可展曲面与不可展曲面 192

5.3.4 Gauss方程的其他形式 192

5.3.5以物理分量表达的Codazzi方程与Gauss方程 193

5.4曲面上场函数的导数 194

5.4.1曲面上的标量场函数 194

5.4.2曲面上的矢量场函数 195

5.4.2.1曲面上矢量场函数的微分与梯度 195

5.4.2.2曲面上矢量场函数的梯度之分量表达式 196

5.4.2.3曲面上矢量场函数的散度与旋度 198

5.4.3曲面上的切面张量场函数 198

5.5等距曲面（平行曲面） 200

5.5.1等距曲面的基矢量 200

5.5.2等距曲面的第一基本形 201

5.5.3参考曲面的第三基本形 202

5.5.4等距曲面上面元的面积 204

5.5.5等距曲面的第二基本形 204

5.5.6主坐标系中等距曲面的几何参数 205

5.6曲面理论的一个应用实例 206

5.6.1碳纳米曲面的描述 207

5.6.2碳纳米曲面变形的描述 209

5.6.3碳纳米曲面的本构关系 212

5.6.4石墨烯片刚度 212

5.6.5石墨烯卷曲成单壁碳纳米管 214

习题 218

第6章 张量场函数对参数的导数 220

6.1质点运动 220

6.1.1质点的运动速度 220

6.1.2任意矢量对参数的导数 221

6.1.3举例 223

6.2 Euler坐标与Lagrange坐标 226

6.2.1 Euler坐标 226

6.2.2 Lagrange坐标 227

6.2.3两种坐标系的转换关系 229

6.2.4质点速度和物质导数 229

6.3基矢量的物质导数 230

6.3.1 Lagrange基矢量的物质导数 230

6.3.2度量张量的物质导数、应变率张量 232

6.3.3速度场的加法分解 233

6.3.4 Euler基矢量的物质导数 235

6.4矢量场函数的导数 235

6.4.1 Lagrange坐标系中矢量场函数的物质导数 235

6.4.2 Euler坐标系中矢量场函数的物质导数、全导数 237

6.4.3坐标转换关系 240

6.4.4矢量场函数的相对导数 240

6.4.5各种导数间的关系 244

6.5张量场函数的导数 244

6.5.1任意阶张量函数的物质导数 244

6.5.2二阶张量场函数及其相对导数 249

6.6连续介质变形与运动的初步知识 253

6.6.1变形梯度张量，线元、面元与体元的变换 253

6.6.2线元、面元与体元的物质导数 255

6.6.3变形梯度张量的极分解 257

6.6.4 Green应变张量 257

6.6.5应力张量 259

6.6.6应力率 260

6.6.7弹性本构关系 261

6.6.8举例 262

6.6.9张量场函数在域上积分的导数 264

6.6.9.1张量场函数在物质体积域上的质量积分 264

6.6.9.2张量场函数在物质体积域上的体积积分 265

6.6.9.3张量通过物质开曲面的通量 267

6.6.9.4张量沿物质封闭曲线的环量 269

6.6.9.5张量场函数在非物质域上积分的导数 270

习题 272

习题答案 274

参考文献 306

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