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第13章 多元函数及其微分学 1

13.1平面中的点集 1

13.1.1二维Euclid空间R2 1

13.1.2平面中的点集 2

13.1.3点和点集之间的关系 4

13.1.4开集与闭集 6

13.2 R2的完备性 8

13.3二元函数的极限和连续性 12

13.3.1二元函数和多元函数的概念 12

13.3.2二元函数的重极限 14

13.3.3二元函数的累次极限 18

13.3.4二元函数的连续性 21

13.3.5二元连续函数的整体性质 26

13.4多元函数的偏导数和全微分 29

13.4.1偏导数的概念 29

13.4.2全微分的概念 31

13.4.3可微的几何意义和充分条件 35

13.5复合函数的微分法 42

13.5.1复合函数的求导法则 42

13.5.2高阶偏导数 45

小结 51

复习题 51

第14章 多元函数微分法的应用 53

14.1方向导数 53

14.1.1方向导数的概念 53

14.1.2方向导数的最大值和梯度 55

14.2多元函数Taylor公式 58

14.3多元函数的极值 62

14.3.1多元函数极值的必要条件 62

14.3.2多元函数极值的充分条件 63

14.3.3多元函数的最值问题及其应用 66

14.4隐函数 69

14.4.1隐函数的概念及其几何意义 69

14.4.2隐函数存在性定理 71

14.4.3隐函数的求导法 74

14.5隐函数组 78

14.5.1两个曲面所交曲线的参数化 78

14.5.2反函数组及坐标变换 81

14.5.3隐函数组 84

14.6几何应用 87

14.6.1空间曲线的切线和法平面 87

14.6.2曲面的切平面和法线 91

14.7条件极值 92

14.7.1条件极值的概念及几何意义 93

14.7.2 Lagrange乘数法 95

小结 103

复习题 104

第15章 含参变量积分 105

15.1含参变量正常积分及其分析性质 105

15.1.1含参变量正常积分 105

15.1.2含参变量正常积分的分析性质 106

15.2含参变量反常积分及一致收敛判别法 112

15.3含参变量反常积分的分析性质 121

15.4含参变量反常积分的应用 129

15.4.1 Poisson型积分的计算 129

15.4.2 Dirichlet型积分的计算 131

15.4.3 Euler型的参变量积分——Gamma函数 132

15.4.4 Beta函数 135

15.4.5 Gamma函数和Beta函数之间的关系 137

小结 139

复习题 140

第16章 重积分 142

16.1二重积分的概念 142

16.1.1平面图形的面积 142

16.1.2二重积分的定义 144

16.1.3二重积分的存在性 146

16.1.4可积函数类 147

16.1.5二重积分的性质 148

16.1.6例题 149

16.2直角坐标系下二重积分的计算 151

16.2.1矩形区域上二重积分转化为累次积分 151

16.2.2一般区域上二重积分转化为累次积分 155

16.3二重积分的变量变换 161

16.3.1二重积分的变量变换与面积微元 161

16.3.2二重积分的变量变换公式 164

16.3.3例题 165

16.3.4在极坐标系中计算二重积分 167

16.4三重积分 173

16.4.1三重积分的概念 173

16.4.2化三重积分为累次积分（穿针法与切片法） 174

16.4.3三重积分的变量变换法 179

16.5重积分的应用 184

16.5.1曲面的面积 184

16.5.2重心 187

16.5.3万有引力 188

小结 189

复习题 190

第17章 曲线积分和曲面积分 192

17.1第一型曲线积分 192

17.1.1第一型曲线积分的概念 192

17.1.2第一型曲线积分的计算 194

17.2第一型曲面积分 199

17.2.1第一型曲面积分的概念 199

17.2.2第一型曲面积分的计算 200

17.3第二型曲线积分 204

17.3.1第二型曲线积分的概念 204

17.3.2第二型曲线积分的计算 206

17.3.3两类曲线积分之间的关系 210

17.4第二型曲面积分 211

17.4.1曲面的侧的概念 211

17.4.2第二型曲面积分的定义 212

17.4.3第二型曲面积分的计算 214

17.4.4第一型曲面积分与第二型曲面积分的关系 218

小结 220

复习题 220

第18章 各种积分之间的关系 223

18.1 Green公式 223

18.2 Gauss公式 228

18.3 Stokes公式 232

18.4曲线积分与路径无关性 236

18.4.1平面曲线积分与路径无关的条件 236

18.4.2空间曲线积分与路径无关的条件 239

18.5场论 242

18.5.1散度和旋度 242

18.5.2 Hamilton算子▽ 245

18.5.3几种常用的场 247

小结 248

复习题 249

部分习题答案或提示 251

参考文献 264

索引 265

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