离散数学及其应用 原书第8版PDF电子书下载

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第1章 基础：逻辑和证明 1

1.1 命题逻辑 1

1.1.1 引言 1

1.1.2 命题 1

1.1.3 条件语句 4

1.1.4 复合命题的真值表 7

1.1.5 逻辑运算符的优先级 8

1.1.6 逻辑运算和比特运算 8

练习 9

1.2 命题逻辑的应用 15

1.2.1 引言 15

1.2.2 语句翻译 15

1.2.3 系统规范说明 16

1.2.4 布尔搜索 16

1.2.5 逻辑谜题 17

1.2.6 逻辑电路 18

练习 20

1.3 命题等价式 23

1.3.1 引言 23

1.3.2 逻辑等价式 23

1.3.3 德·摩根律的运用 25

1.3.4 构造新的逻辑等价式 26

1.3.5 可满足性 28

1.3.6 可满足性的应用 28

1.3.7 可满足性问题求解 30

练习 31

1.4 谓词和量词 34

1.4.1 引言 34

1.4.2 谓词 34

1.4.3 量词 37

1.4.4 有限域上的量词 39

1.4.5 受限域的量词 39

1.4.6 量词的优先级 40

1.4.7 变量绑定 40

1.4.8 涉及量词的逻辑等价式 40

1.4.9 量化表达式的否定 41

1.4.10 语句到逻辑表达式的翻译 42

1.4.11 系统规范说明中量词的使用 43

1.4.12 选自路易斯·卡罗尔的例子 44

1.4.13 逻辑程序设计 45

练习 46

1.5 嵌套量词 51

1.5.1 引言 51

1.5.2 理解涉及嵌套量词的语句 51

1.5.3 量词的顺序 52

1.5.4 数学语句到嵌套量词语句的翻译 53

1.5.5 嵌套量词到自然语言的翻译 54

1.5.6 汉语语句到逻辑表达式的翻译 54

1.5.7 嵌套量词的否定 55

练习 56

1.6 推理规则 62

1.6.1 引言 62

1.6.2 命题逻辑的有效论证 62

1.6.3 命题逻辑的推理规则 63

1.6.4 使用推理规则建立论证 65

1.6.5 消解律 66

1.6.6 谬误 66

1.6.7 量化命题的推理规则 67

1.6.8 命题和量化命题推理规则的组合使用 68

练习 69

1.7 证明导论 72

1.7.1 引言 72

1.7.2 一些专用术语 72

1.7.3 理解定理是如何陈述的 73

1.7.4 证明定理的方法 73

1.7.5 直接证明法 73

1.7.6 反证法 74

1.7.7 归谬证明法 76

1.7.8 证明中的错误 78

1.7.9 良好的开端 79

练习 80

1.8 证明的方法和策略 81

1.8.1 引言 81

1.8.2 穷举证明法和分情形证明法 81

1.8.3 存在性证明 84

1.8.4 唯一性证明 86

1.8.5 证明策略 87

1.8.6 寻找反例 89

1.8.7 证明策略实践 90

1.8.8 拼接 90

1.8.9 开放问题的作用 92

1.8.10 其他证明方法 93

练习 94

关键术语和结论 96

复习题 97

补充练习 98

计算机课题 100

计算和探索 101

写作课题 101

第2章 基本结构：集合、函数、序列、求和与矩阵 102

2.1 集合 102

2.1.1 引言 102

2.1.2 文氏图 104

2.1.3 子集 105

2.1.4 集合的大小 106

2.1.5 幂集 107

2.1.6 笛卡儿积 107

2.1.7 使用带量词的集合符号 109

2.1.8 真值集和量词 109

练习 109

2.2 集合运算 112

2.2.1 引言 112

2.2.2 集合恒等式 114

2.2.3 扩展的并集和交集 116

2.2.4 集合的计算机表示 117

2.2.5 多重集 118

练习 119

2.3 函数 123

2.3.1 引言 123

2.3.2 一对一函数和映上函数 125

2.3.3 反函数和函数合成 128

2.3.4 函数的图 130

2.3.5 一些重要的函数 130

2.3.6 部分函数 133

练习 133

2.4 序列与求和 138

2.4.1 引言 138

2.4.2 序列 138

2.4.3 递推关系 139

2.4.4 特殊的整数序列 141

2.4.5 求和 144

练习 147

2.5 集合的基数 150

2.5.1 引言 150

2.5.2 可数集合 151

2.5.3 不可数集合 153

练习 155

2.6 矩阵 157

2.6.1 引言 157

2.6.2 矩阵算术 158

2.6.3 矩阵的转置和幂 159

2.6.4 0-1矩阵 160

练习 161

关键术语和结论 164

复习题 166

补充练习 166

计算机课题 168

计算和探索 169

写作课题 169

第3章 算法 170

3.1 算法 170

3.1.1 引言 170

3.1.2 搜索算法 172

3.1.3 排序 174

3.1.4 字符串匹配 176

3.1.5 贪婪算法 177

3.1.6 停机问题 179

练习 180

3.2 函数的增长 183

3.2.1 引言 183

3.2.2 大O记号 184

3.2.3 一些重要函数的大O估算 187

3.2.4 函数组合的增长 190

3.2.5 大Ω与大Θ记号 191

练习 192

3.3 算法的复杂度 196

3.3.1 引言 196

3.3.2 时间复杂度 196

3.3.3 矩阵乘法的复杂度 198

3.3.4 算法范型 199

3.3.5 理解算法的复杂度 201

练习 203

关键术语和结论 207

复习题 208

补充练习 209

计算机课题 211

计算和探索 211

写作课题 212

第4章 数论和密码学 213

4.1 整除性和模算术 213

4.1.1 引言 213

4.1.2 除法 213

4.1.3 除法算法 214

4.1.4 模算术 215

4.1.5 模m算术 217

练习 218

4.2 整数表示和算法 220

4.2.1 引言 220

4.2.2 整数表示 220

4.2.3 整数运算算法 223

4.2.4 模指数运算 225

练习 226

4.3 素数和最大公约数 229

4.3.1 引言 229

4.3.2 素数 229

4.3.3 试除法 230

4.3.4 埃拉托斯特尼筛法 231

4.3.5 关于素数的猜想和开放问题 235

4.3.6 最大公约数和最小公倍数 236

4.3.7 欧几里得算法 238

4.3.8 gcd的线性组合表示 239

练习 242

4.4 求解同余方程 245

4.4.1 引言 245

4.4.2 线性同余方程 245

4.4.3 中国剩余定理 247

4.4.4 大整数的计算机算术 248

4.4.5 费马小定理 249

4.4.6 伪素数 250

4.4.7 原根和离散对数 251

练习 252

4.5 同余的应用 255

4.5.1 散列函数 255

4.5.2 伪随机数 256

4.5.3 校验码 257

练习 259

4.6 密码学 260

4.6.1 引言 260

4.6.2 古典密码学 261

4.6.3 公钥密码学 263

4.6.4 RSA密码系统 265

4.6.5 RSA加密 265

4.6.6 RSA解密 266

4.6.7 用RSA作为公钥系统 266

4.6.8 密码协议 267

4.6.9 同态加密 268

练习 269

关键术语和结论 271

复习题 273

补充练习 273

计算机课题 275

计算和探索 276

写作课题 276

第5章 归纳与递归 278

5.1 数学归纳法 278

5.1.1 引言 278

5.1.2 数学归纳法 279

5.1.3 为什么数学归纳法是有效的 280

5.1.4 选择正确的基础步骤 280

5.1.5 运用数学归纳法进行证明的原则 281

5.1.6 数学归纳法的优点与缺点 281

5.1.7 利用数学归纳法证明的例子 281

5.1.8 使用数学归纳法时犯的错误 290

练习 291

5.2 强归纳法与良序性 296

5.2.1 引言 296

5.2.2 强归纳法 296

5.2.3 利用强归纳法证明的例子 298

5.2.4 计算几何学中使用强归纳法 300

5.2.5 利用良序性证明 302

练习 302

5.3 递归定义与结构归纳法 306

5.3.1 引言 306

5.3.2 递归地定义函数 307

5.3.3 递归地定义集合与结构 309

5.3.4 结构归纳法 312

5.3.5 广义归纳法 315

练习 315

5.4 递归算法 320

5.4.1 引言 320

5.4.2 证明递归算法的正确性 322

5.4.3 递归与迭代 323

5.4.4 归并排序 324

练习 327

5.5 程序正确性 329

5.5.1 引言 329

5.5.2 程序验证 329

5.5.3 推理规则 330

5.5.4 条件语句 330

5.5.5 循环不变量 332

练习 333

关键术语和结论 334

复习题 335

补充练习 336

计算机课题 340

计算和探索 341

写作课题 341

第6章 计数 342

6.1 计数的基础 342

6.1.1 引言 342

6.1.2 基本的计数原则 342

6.1.3 比较复杂的计数问题 346

6.1.4 减法法则（两个集合的容斥原理） 347

6.1.5 除法法则 349

6.1.6 树图 349

练习 350

6.2 鸽巢原理 354

6.2.1 引言 354

6.2.2 广义鸽巢原理 355

6.2.3 鸽巢原理的几个简单应用 357

练习 359

6.3 排列与组合 361

6.3.1 引言 361

6.3.2 排列 361

6.3.3 组合 362

练习 365

6.4 二项式系数和恒等式 367

6.4.1 二项式定理 368

6.4.2 帕斯卡恒等式和三角形 370

6.4.3 其他的二项式系数恒等式 371

练习 372

6.5 排列与组合的推广 375

6.5.1 引言 375

6.5.2 有重复的排列 375

6.5.3 有重复的组合 375

6.5.4 具有不可区别物体的集合的排列 378

6.5.5 把物体放入盒子 379

练习 382

6.6 生成排列和组合 385

6.6.1 引言 385

6.6.2 生成排列 385

6.6.3 生成组合 386

练习 387

关键术语和结论 388

复习题 389

补充练习 390

计算机课题 393

计算和探索 394

写作课题 394

第7章 离散概率 395

7.1 离散概率引论 395

7.1.1 引言 395

7.1.2 有限概率 395

7.1.3 事件组合的概率 398

7.1.4 概率的推理 399

练习 399

7.2 概率论 402

7.2.1 引言 402

7.2.2 概率指派 402

7.2.3 事件的组合 403

7.2.4 条件概率 404

7.2.5 独立性 405

7.2.6 伯努利试验与二项分布 406

7.2.7 随机变量 407

7.2.8 生日问题 408

7.2.9 蒙特卡罗算法 409

7.2.10 概率方法 411

练习 412

7.3 贝叶斯定理 414

7.3.1 引言 414

7.3.2 贝叶斯定理 415

7.3.3 贝叶斯垃圾邮件过滤器 417

练习 420

7.4 期望值和方差 422

7.4.1 引言 422

7.4.2 期望值 422

7.4.3 期望的线性性质 424

7.4.4 平均情形下的计算复杂度 425

7.4.5 几何分布 427

7.4.6 独立随机变量 428

7.4.7 方差 429

7.4.8 切比雪夫不等式 431

练习 433

关键术语和结论 435

复习题 436

补充练习 437

计算机课题 440

计算和探索 441

写作课题 441

第8章 高级计数技术 442

8.1 递推关系的应用 442

8.1.1 引言 442

8.1.2 用递推关系构造模型 443

8.1.3 算法与递推关系 447

练习 450

8.2 求解线性递推关系 453

8.2.1 引言 453

8.2.2 求解常系数线性齐次递推关系 454

8.2.3 求解常系数线性非齐次递推关系 458

练习 460

8.3 分治算法和递推关系 463

8.3.1 引言 463

8.3.2 分治递推关系 463

练习 469

8.4 生成函数 471

8.4.1 引言 471

8.4.2 关于幂级数的有用事实 471

8.4.3 计数问题与生成函数 474

8.4.4 使用生成函数求解递推关系 477

8.4.5 使用生成函数证明恒等式 478

练习 479

8.5 容斥 484

8.5.1 引言 484

8.5.2 容斥原理 484

练习 487

8.6 容斥原理的应用 488

8.6.1 引言 488

8.6.2 容斥原理的另一种形式 488

8.6.3 埃拉托色尼筛 489

8.6.4 映上函数的个数 490

8.6.5 错位排列 490

练习 492

关键术语和结论 493

复习题 494

补充练习 495

计算机课题 497

计算和探索 498

写作课题 498

第9章 关系 500

9.1 关系及其性质 500

9.1.1 引言 500

9.1.2 函数作为关系 501

9.1.3 集合的关系 501

9.1.4 关系的性质 502

9.1.5 关系的组合 504

练习 506

9.2 n元关系及其应用 510

9.2.1 引言 510

9.2.2 n元关系 510

9.2.3 数据库和关系 511

9.2.4 n元关系的运算 512

9.2.5 SQL 514

9.2.6 数据挖掘中的关联规则 514

练习 516

9.3 关系的表示 518

9.3.1 引言 518

9.3.2 用矩阵表示关系 518

9.3.3 用图表示关系 521

练习 522

9.4 关系的闭包 524

9.4.1 引言 524

9.4.2 不同类型的闭包 524

9.4.3 有向图中的路径 525

9.4.4 传递闭包 526

9.4.5 沃舍尔算法 529

练习 531

9.5 等价关系 533

9.5.1 引言 533

9.5.2 等价关系 533

9.5.3 等价类 534

9.5.4 等价类与划分 536

练习 538

9.6 偏序 542

9.6.1 引言 542

9.6.2 字典顺序 544

9.6.3 哈塞图 545

9.6.4 极大元与极小元 546

9.6.5 格 548

9.6.6 拓扑排序 550

练习 551

关键术语和结论 556

复习题 557

补充练习 558

计算机课题 561

计算和探索 562

写作课题 562

第10章 图 563

10.1 图和图模型 563

10.1.1 图模型 565

练习 570

10.2 图的术语和几种特殊的图 573

10.2.1 引言 573

10.2.2 基本术语 573

10.2.3 一些特殊的简单图 575

10.2.4 二分图 576

10.2.5 二分图和匹配 577

10.2.6 特殊类型图的一些应用 580

10.2.7 从旧图构造新图 582

练习 584

10.3 图的表示和图的同构 587

10.3.1 引言 587

10.3.2 图的表示 588

10.3.3 邻接矩阵 588

10.3.4 关联矩阵 590

10.3.5 图的同构 590

10.3.6 判定两个简单图是否同构 591

练习 593

10.4 连通性 598

10.4.1 引言 598

10.4.2 通路 598

10.4.3 无向图的连通性 600

10.4.4 图是如何连通的 601

10.4.5 有向图的连通性 603

10.4.6 通路与同构 604

10.4.7 计算顶点之间的通路数 605

练习 606

10.5 欧拉通路与哈密顿通路 611

10.5.1 引言 611

10.5.2 欧拉通路与欧拉回路 611

10.5.3 哈密顿通路与哈密顿回路 615

10.5.4 哈密顿回路的应用 618

练习 619

10.6 最短通路问题 623

10.6.1 引言 623

10.6.2 最短通路算法 625

10.6.3 旅行商问题 629

练习 630

10.7 平面图 633

10.7.1 引言 633

10.7.2 欧拉公式 634

10.7.3 库拉图斯基定理 637

练习 638

10.8 图着色 640

10.8.1 引言 640

10.8.2 图着色的应用 644

练习 645

关键术语和结论 648

复习题 650

补充练习 651

计算机课题 656

计算和探索 656

写作课题 657

第11章 树 658

11.1 树的概述 658

11.1.1 有根树 659

11.1.2 树作为模型 662

11.1.3 树的性质 663

练习 666

11.2 树的应用 668

11.2.1 引言 668

11.2.2 二叉搜索树 668

11.2.3 决策树 671

11.2.4 前缀码 672

11.2.5 博弈树 674

练习 678

11.3 树的遍历 681

11.3.1 引言 681

11.3.2 通用地址系统 681

11.3.3 遍历算法 682

11.3.4 中缀、前缀和后缀记法 688

练习 690

11.4 生成树 693

11.4.1 引言 693

11.4.2 深度优先搜索 694

11.4.3 宽度优先搜索 696

11.4.4 回溯的应用 698

11.4.5 有向图中的深度优先搜索 700

练习 701

11.5 最小生成树 704

11.5.1 引言 704

11.5.2 最小生成树算法 704

练习 707

关键术语和结论 709

复习题 710

补充练习 711

计算机课题 714

计算和探索 714

写作课题 715

第12章 布尔代数 716

12.1 布尔函数 716

12.1.1 引言 716

12.1.2 布尔表达式和布尔函数 717

12.1.3 布尔代数恒等式 718

12.1.4 对偶性 720

12.1.5 布尔代数的抽象定义 720

练习 721

12.2 布尔函数的表示 722

12.2.1 积之和展开式 723

12.2.2 函数完备性 724

练习 724

12.3 逻辑门电路 725

12.3.1 引言 725

12.3.2 门的组合 726

12.3.3 电路的例子 726

12.3.4 加法器 728

练习 729

12.4 电路的极小化 731

12.4.1 引言 731

12.4.2 卡诺图 732

12.4.3 无须在意的条件 737

12.4.4 奎因-莫可拉斯基方法 737

练习 741

关键术语和结论 743

复习题 744

补充练习 744

计算机课题 746

计算和探索 746

写作课题 747

第13章 计算模型 748

13.1 语言和文法 748

13.1.1 引言 748

13.1.2 短语结构文法 749

13.1.3 短语结构文法的类型 751

13.1.4 派生树 752

13.1.5 巴克斯-诺尔范式 754

练习 755

13.2 带输出的有限状态机 758

13.2.1 引言 758

13.2.2 带输出的有限状态机 759

练习 762

13.3 不带输出的有限状态机 764

13.3.1 引言 764

13.3.2 串的集合 764

13.3.3 有限状态自动机 765

13.3.4 有限状态机的语言识别 766

13.3.5 非确定性的有限状态自动机 771

练习 773

13.4 语言的识别 777

13.4.1 引言 777

13.4.2 克莱因定理 778

13.4.3 正则集合和正则文法 781

13.4.4 一个不能由有限状态自动机识别的集合 783

13.4.5 一些更强大的机器 783

练习 784

13.5 图灵机 786

13.5.1 引言 786

13.5.2 图灵机的定义 787

13.5.3 用图灵机识别集合 789

13.5.4 用图灵机计算函数 790

13.5.5 不同类型的图灵机 790

13.5.6 丘奇-图灵论题 791

13.5.7 计算复杂度、可计算性和可判定性 791

练习 794

关键术语和结论 796

复习题 797

补充练习 798

计算机课题 800

计算和探索 800

写作课题 800

附录A 实数和正整数的公理 802

附录B 指数与对数函数 807

附录C 伪代码 809

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参考文献 817

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