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第一部分 高等数学基础 3

第一章 初等函数基础 3

1.1 集合、区间、区域 3

1.1.1 集合 3

1.1.2 区间、区域 4

1.2 二阶三阶行列式的计算 6

1.3 五大类基本初等函数 7

1.3.1 学习初等函数的基本口诀 7

1.3.2 五大类基本函数 7

1.4 抽象函数基本问题 11

1.4.1 函数的定义域和值域 11

1.4.2 函数的单调性 12

1.4.3 函数的周期性 12

1.4.4 函数的反函数 13

1.4.5 函数的表达式 13

1.4.6 函数图像的对称、平移和旋转 14

1.4.7 函数的有界性 16

1.5 分段函数 16

1.6 幂指函数 16

1.7 空间解析几何（图像与方程） 16

1.8 向量代数基础 17

1.8.1 向量代数的本质 17

1.8.2 向量运算 17

1.9 空间解析几何 20

1.10 曲线方程、曲面方程、体 20

1.11 空间直线方程 21

1.12 空间平面方程 22

1.13 旋转曲面方程和柱面方程 23

1.14 空间曲线在坐标平面上的投影 23

1.15 离散数列基础 26

练习一 26

第二章 高等数学的基本工具 28

2.1 极限的定义与其基本性质 28

2.1.1 数列极限 28

2.1.2 数列极限的性质与法则 29

2.1.3 一元函数的极限 29

2.1.4 二元函数的极限 30

2.1.5 多元函数的极限的三个基本问题 31

2.2 极限和连续以及间断的分类 32

2.2.1 连续的定义 32

2.2.2 间断与其分类 33

2.2.3 函数间断的核心问题 34

2.2.4 连续函数的性质 36

2.3 极限的计算方法概论 36

2.3.1 无穷大（小）的阶 37

2.3.2 未定式的极限求法 38

练习二 56

第二部分 微分学 61

第三章 导数 61

3.1 导数的定义与基本性质 61

3.1.1 一元函数的导数定义 61

3.1.2 二元函数偏导数的定义 63

3.1.3 方向导数 63

3.1.4 梯度 64

3.1.5 导数的运算结构 65

3.1.6 可微、可导和连续的关系 65

3.2 导数符号的再认识 67

3.2.1 一元函数导数符号的两重特性及其应用 67

3.2.2 高阶导数的求导公式 68

3.2.3 高阶导数的具体问题 69

3.2.4 偏导数符号系统 70

3.3 基本求导步骤和口诀 71

3.4 微分中值定理 78

3.4.1 费马定理 78

3.4.2 罗尔定理 79

3.4.3 拉格朗日定理 79

3.4.4 柯西中值定理 79

3.5 泰勒展式（高阶微分中值定理） 81

练习三 87

第四章 导数的基本应用 90

4.1 曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线 90

4.1.1 求平面曲线的切线 90

4.1.2 空间曲线的切线、法平面方程和空间曲面的切平面、法线方程 91

4.2 通过一阶导数看原函数的单调性（简称“一阶单调”） 93

4.2.1 驻点、极值、最值、不等式的证明、零点的个数问题 93

4.2.2 导数与单调性 94

4.2.3 导数与最值、极值 95

4.2.4 导数与方程根的个数 96

4.2.5 证明不等式 97

4.3 通过二阶导数看函数的凸凹性与拐点 97

4.4 条件极值与非条件极值 98

4.4.1 多元函数的无条件极值 98

4.4.2 条件极值的拉格朗日乘数法 99

4.5 函数的渐近线 99

4.6 函数作图的基本流程 100

4.7 曲线曲率 100

练习四 101

第三部分 积分学 105

第五章 不定积分（微分的逆运算） 105

5.1 全微分与不定积分的定义 105

5.1.1 两种差运算符号△与d 105

5.1.2 微分公式推导 105

5.1.3 多元函数的全微分 106

5.1.4 微分和积分互为逆运算 107

5.2 不定积分 108

5.2.1 不定积分计算基本视角 108

5.2.2 不定积分的计算思路 108

5.2.3 不定积分计算 109

练习五 120

第六章 定积分 121

6.1 定积分的符号系统与其含义 121

6.1.1 定积分的定义 121

6.1.2 ？dx的符号含义 121

6.2 微积分基本定理 123

6.3 积分中值定理 125

6.4 积分函数的性质研究 125

6.5 定积分计算的“三大绝招” 126

6.6 定积分的应用 132

6.6.1 几何应用 132

6.6.2 物理应用 134

6.7 反常积分 135

6.7.1 无穷限积分 135

6.7.2 无穷界积分（瑕积分） 135

6.8 参变微积分 136

6.9 重积分的符号意义 137

6.10 二重积分的计算方法 138

6.11 切割法与积分换序 138

6.12 外微分与坐标换元法 141

6.12.1 外微分 141

6.12.2 换元法 141

6.13 三重积分的基本算法 143

6.13.1 切割法 143

6.13.2 坐标换元法 145

6.14 重积分的相关问题 146

6.14.1 积分换次序与化重积分为累次积分 146

6.14.2 坐标变换求重积分 148

6.14.3 有关等式的证明 148

6.14.4 重积分不等式的证明 149

6.14.5 化一重积分为二重积分的反向应用 150

6.14.6 对称区间、对称函数的积分 151

6.15 关于积分（重）计算的基本方法 151

练习六 152

第七章 曲线积分与曲面积分 154

7.1 沿曲线和曲面积分计算的基本方法 154

7.1.1 基本计算方法综述 154

7.1.2 曲线积分和曲面积分计算的核心套路 154

7.1.3 沿曲线积分和曲面积分算法的基本步骤 155

7.2 曲线积分的符号系统与其含义 155

7.3 各类曲线积分的具体算法 156

7.3.1 第一类曲线积分的算法模式 156

7.3.2 第二类曲线积分的算法模式 157

7.4 全微分与路径无关性 161

7.4.1 全微分与路径无关 161

7.4.2 路径无关性的判断 161

7.5 曲面积分的符号系统与其含义 163

7.5.1 第一类曲面积分？dS 163

7.5.2 第二类曲面积分？dxdy 163

7.6 曲面积分的基本算法 163

7.6.1 第一类曲面积分（对曲面面积的积分）的算法 163

7.6.2 第二类曲面积分（对坐标平面的积分）的算法 164

7.7 外微分与边界积分和内部积分的互相转化关系 166

7.7.1 四大公式的共性 166

7.7.2 用外微分对上述公式简易证明 167

7.8 格林公式的应用 168

7.9 定积分中微元的符号问题 169

7.9.1 定积分的几类形式回顾 169

7.9.2 微元符号的确定 169

练习七 171

第八章 常微分方程初步 173

8.1 常微分方程的基本概念和关键名词 173

8.2 一阶常微分方程的分类与对应方法 174

8.3 二阶常微分方程的方法 178

8.4 常系数微分方程的方法 179

8.5 含变限积分的微分方程 181

8.6 线性微分方程的解的结构 182

练习八 182

第四部分 离散变量数学基础 187

第九章 级数 187

9.1 级数的概念与基本性质 187

9.1.1 级数的定义 187

9.1.2 三类重要级数 188

9.2 级数的收敛和发散判别法 189

9.2.1 正项级数的收敛和发散的判断准则 189

9.2.2 三种比较方法 190

9.3 另一特殊级数：交错项级数 195

9.4 绝对收敛和条件收敛 195

9.5 幂级数 196

9.6 傅里叶级数 198

9.7 级数求和与级数展开 200

9.8 无穷限非正常积分与级数的关系 203

9.8.1 收敛性的相通性 203

9.8.2 相互转化性 203

练习九 204

习题答案或提示 206

附录 高等数学参考公式 220

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