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第6章 拓扑空间及映射的极限与连续性 279

6.1 拓扑空间 279

6.1.1 拓扑空间的基本概念 279

6.1.2 度量空间 284

6.1.3 有限维线性赋范空间（欧氏空间Rm） 294

6.2 拓扑空间的连续映射 299

6.2.1 映射的极限 299

6.2.2 连续映射 300

6.2.3 压缩映像原理 304

6.2.4 多变量函数和它的极限与连续性 308

第7章 多变量函数微分学 318

7.1 多变量函数的微分 318

7.1.1 函数在一点的微分 318

7.1.2 实值函数的偏导数与微分 319

7.1.3 映射的微分的坐标表示·雅可比矩阵 322

7.1.4 函数在一点的连续性、偏导数和可微性 322

7.2 微分法的基本定律 323

7.2.1 微分法运算的线性性质 323

7.2.2 复合映射的微分法 325

7.2.3 逆映射的微分法 329

7.3 多变量实值函数微分学的基本事实 332

7.3.1 中值定理 332

7.3.2 多变量函数可微性的充分条件 334

7.3.3 高阶偏导数 335

7.3.4 泰勒公式 338

7.3.5 多变量函数的极值 339

7.3.6 与多变量函数有关的某些几何形象 344

7.4 隐函数定理 349

7.5 隐函数定理的一些推论 357

7.5.1 反函数定理 357

7.5.2 局部地把光滑映射化为典则形式 361

7.5.3 函数的相关性 365

7.5.4 局部地分解微分同胚为最简形式的复合 367

7.5.5 莫尔斯引理 369

7.6 Rn中的曲面和条件极值理论 373

7.6.1 Rn中的k维曲面 373

7.6.2 切空间 377

7.6.3 条件极值 381

第8章 重积分 392

8.1 n维区间上的黎曼积分 392

8.1.1 积分定义 392

8.1.2 黎曼可积的勒贝格准则 394

8.1.3 达布准则 398

8.2 集合上的积分 400

8.2.1 （有界）集上的积分 400

8.2.2 容许集 401

8.2.3 容许集的测度（体积） 402

8.3 积分的一般性质 403

8.3.1 积分的线性性质 403

8.3.2 积分的可加性 404

8.3.3 积分的估计 405

8.4 化重积分为累次积分 407

8.4.1 富比尼定理 407

8.4.2 一些推论 409

8.5 重积分中的变量替换 414

8.5.1 变量替换公式 414

8.5.2 预备知识 414

8.5.3 积分变量替换公式的证明 419

8.5.4 重积分变量替换公式的推广 420

8.6 反常重积分 424

8.6.1 基本定义 424

8.6.2 反常积分——控制收敛判别法 427

8.6.3 反常积分——变量替换 429

第9章 流形（曲面）及微分形式 434

9.1 线性代数准备知识 434

9.1.1 形式代数 434

9.1.2 斜对称形式代数 435

9.1.3 线性空间中的线性映射及共轭空间中的共轭映射 438

9.2 流形 440

9.2.1 流形的定义 440

9.2.2 光滑（无边）曲面 441

9.2.3 带边流形 445

9.2.4 光滑流形与光滑映射 446

9.2.5 流形及其边界的定向 449

9.2.6 单位分解 454

9.2.7 流形在其一点的切空间和余切空间 457

9.3 流形上的微分形式 464

9.3.1 微分形式 464

9.3.2 外微分 467

第10章 流形（曲面）上微分形式的积分 475

10.1 微分形式在流形上的积分 475

10.1.1 形式在流形上的积分 475

10.1.2 斯托克斯公式 476

10.2 曲线积分与曲面积分 478

10.2.1 曲面上微分形式的积分 478

10.2.2 体积形式 484

10.2.3 在笛卡儿坐标下体积形式的表示 485

10.2.4 参数曲面的面积 487

10.2.5 第一型与第二型积分 492

10.2.6 斯托克斯定理在曲面积分中的推论 493

10.3 流形上的闭形式与恰当形式 500

10.3.1 庞加莱定理 500

10.3.2 同调与上同调 502

第11章 向量分析与场论初步 507

11.1 向量分析的微分运算 507

11.1.1 数量场与向量场 507

11.1.2 R3中的向量场与形式 507

11.1.3 微分算子grad，rot，div及？ 509

11.1.4 向量分析的一些微分公式 511

11.1.5 曲线坐标下的向量运算 513

11.2 场论的积分公式 522

11.2.1 用向量表示的经典积分公式 522

11.2.2 一些进一步的积分公式 525

11.3 势场 528

11.3.1 向量场的势 528

11.3.2 势场的必要条件 529

11.3.3 向量场具有势的判别准则 530

11.3.4 区域的拓扑结构与势 532

11.3.5 向量势、恰当形式与闭形式 534

11.4 应用例子 537

11.4.1 热传导方程 537

11.4.2 连续性方程 539

11.4.3 连续介质动力学基本方程 540

11.4.4 波动方程 542

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