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第1章 初等数学基础 1

1.1 集合与区间 1

1.1.1 集合的概念 1

1.1.2 区间和邻域 3

习题1.1 4

1.2 函数与反函数 4

1.2.1 函数的概念 4

1.2.2 函数的表示法 5

1.2.3 函数的几种特性 7

1.2.4 反函数 8

习题1.2 9

1.3 反三角函数 10

1.3.1 反正弦函数 10

1.3.2 反余弦函数 10

1.3.3 反正切函数 11

1.3.4 反余切函数 11

习题1.3 12

1.4 初等函数 12

1.4.1 基本初等函数 12

1.4.2 复合函数 13

习题1.4 14

1.5 极坐标系与参数方程 14

1.5.1 极坐标系 15

1.5.2 极坐标与直角坐标的关系 15

1.5.3 曲线的参数方程 16

习题1.5 17

复习题一 17

第2章 函数的极限与连续 18

2.1 函数极限及其运算法则 18

2.1.1 函数极限 18

2.1.2 函数极限运算法则 20

2.1.3 函数极限的性质 20

习题2.1 22

2.2 两个重要极限 23

习题2.2 24

2.3 函数的连续性 25

2.3.1 函数连续的定义 25

2.3.2 连续函数的性质 27

习题2.3 28

2.4 闭区间上连续函数的性质 29

习题2.4 30

复习题二 31

第3章 导数与微分 32

3.1 导数的概念 32

3.1.1 引例 32

3.1.2 导数概念 33

习题3.1 37

3.2 函数的求导法则 38

3.2.1 导数的四则运算法则 38

3.2.2 反函数的求导法则 39

3.2.3 复合函数的求导法则 41

习题3.2 42

3.3 高阶导数 43

习题3.3 46

3.4 隐函数的导数及参数方程所确定的函数的导数 46

3.4.1 隐函数的导数 46

3.4.2 幂指函数的导数 48

3.4.3 参数方程所确定的函数的导数 49

习题3.4 50

3.5 微分及其运算 51

3.5.1 微分的定义 51

3.5.2 微分的几何意义 53

3.5.3 微分的基本公式和运算法则 54

习题3.5 55

复习题三 55

第4章 导数的应用 57

4.1 微分中值定理 57

4.1.1 罗尔中值定理 57

4.1.2 拉格朗日中值定理 58

4.1.3 柯西中值定理 59

习题4.1 60

4.2 洛必达法则 60

4.2.1 0/0型未定式 61

4.2.2 ∞/∞型未定式 61

4.2.3 其他类型的未定式 62

4.2.4 应用洛必达法则时应注意的几个问题 63

习题4.2 64

4.3 函数的单调性 64

习题4.3 67

4.4 函数的极值和最值问题 67

4.4.1 函数极值的定义 67

4.4.2 极值判定法 68

4.4.3 最大值、最小值问题 71

习题4.4 74

4.5 曲线的凹凸性与拐点 74

4.5.1 曲线的凹凸性及其判别法 74

4.5.2 曲线的拐点 76

习题4.5 78

4.6 函数图像的描绘 78

4.6.1 曲线的渐近线 78

4.6.2 作函数图像的一般步骤 79

习题4.6 80

复习题四 80

第5章 不定积分 82

5.1 不定积分的概念与性质 82

5.1.1 原函数与不定积分的概念 82

5.1.2 不定积分的性质 84

5.1.3 不定积分的几何意义 85

5.1.4 基本积分公式 85

习题5.1 88

5.2 换元积分法 89

5.2.1 第一类换元积分法（凑微分法） 89

5.2.2 第二类换元积分法 93

习题5.2 97

5.3 分部积分法 97

习题5.3 101

复习题五 101

第6章 定积分及其应用 103

6.1 定积分的概念与性质 103

6.1.1 引例 103

6.1.2 定积分定义 105

6.1.3 定积分的几何意义 108

习题6.1 109

6.2 微积分基本公式 109

6.2.1 积分上限函数及其导数 110

6.2.2 基本公式 111

习题6.2 113

6.3 换元积分法 114

6.3.1 引例 114

6.3.2 定积分的换元积分法 115

习题6.3 119

6.4 分部积分法 119

习题6.4 120

6.5 定积分在几何方面的应用 120

6.5.1 定积分的微元法 120

6.5.2 平面图形的面积 122

6.5.3 旋转体的体积 124

习题6.5 126

复习题六 126

第7章 常微分方程 128

7.1 微分方程的基本概念 128

7.1.1 微分方程的基本概念 128

7.1.2 简单微分方程的建立 130

习题7.1 131

7.2 可分离变量的微分方程 132

7.2.1 最简单的一阶微分方程的解法 132

7.2.2 可分离变量的微分方程的解法 132

习题7.2 134

7.3 一阶微分方程 134

7.3.1 齐次微分方程的定义 134

7.3.2 一阶线性微分方程的定义 136

7.3.3 一阶线性微分方程的解法 136

习题7.3 139

7.4 二阶线性微分方程 139

7.4.1 通解形式 140

7.4.2 二阶线性常系数齐次微分方程的解法 141

7.4.3 二阶线性常系数非齐次微分方程的解法 144

习题7.4 147

7.5 可降阶的二阶微分方程 147

7.5.1 y″＝f（x）型的微分方程 147

7.5.2 y″＝f（x，y′）型的微分方程 148

7.5.3 y″＝f（y，y′）型的微分方程 148

习题7.5 149

复习题七 149

第8章 无穷级数 151

8.1 常数项级数 151

8.1.1 无穷级数的基本概念 151

8.1.2 无穷级数的基本性质 152

8.1.3 级数收敛的必要条件 153

习题8.1 154

8.2 正项级数及其审敛法 155

8.2.1 比较审敛法 155

8.2.2 比值审敛法 157

习题8.2 158

8.3 任意项级数 159

8.3.1 交错级数 159

8.3.2 绝对收敛与条件收敛 160

习题8.3 161

8.4 幂级数 161

8.4.1 幂级数的收敛性 162

8.4.2 幂级数的性质 164

习题8.4 165

8.5 函数的幂级数展开 166

8.5.1 麦克劳林级数 166

8.5.2 将函数展开成幂级数的两种方法 167

习题8.5 169

复习题八 170

第9章 向量代数与空间解析几何 172

9.1 空间直角坐标系 172

9.1.1 空间直角坐标系 172

9.1.2 空间两点间的距离 173

习题9.1 174

9.2 空间向量 175

9.2.1 向量及其几何表示 175

9.2.2 向量的线性运算 175

9.2.3 向量的坐标表示 177

9.2.4 向量的数量积及坐标表示 179

9.2.5 向量的向量积及坐标表示 180

习题9.2 181

9.3 空间平面及其方程 182

9.3.1 空间平面的点法式方程 182

9.3.2 空间平面的一般方程 183

9.3.3 空间两平面的夹角 184

习题9.3 185

9.4 空间直线及其方程 186

9.4.1 空间直线的点向式方程与参数方程 186

9.4.2 空间直线的一般方程 187

9.4.3 空间两直线的夹角 188

习题9.4 188

9.5 空间曲面与空间曲线方程 189

9.5.1 曲面方程的概念 189

9.5.2 球面方程 190

9.5.3 柱面方程 190

9.5.4 旋转曲面的方程 191

9.5.5 空间曲线 193

习题9.5 194

复习题九 194

第10章 多元函数微分学 195

10.1 多元函数的基本概念 195

10.1.1 平面区域 195

10.1.2 多元函数概念 196

10.1.3 二元函数的极限与连续性 197

习题10.1 199

10.2 偏导数 200

10.2.1 偏导数的概念 200

10.2.2 高阶偏导数 202

习题10.2 203

10.3 全微分 204

习题10.3 206

10.4 复合函数与隐函数的微分法 207

10.4.1 复合函数的微分法 207

10.4.2 隐函数的微分法 208

习题10.4 209

10.5 多元函数的极值 210

10.5.1 二元函数的极值 210

10.5.2 二元函数的最大值与最小值 213

10.5.3 条件极值与拉格朗日乘数法 214

习题10.5 215

复习题十 215

第11章 多元函数的积分 217

11.1 二重积分的概念 217

11.1.1 引例——求曲顶柱体的体积 217

11.1.2 二重积分的概念 218

11.1.3 二重积分的性质 219

习题11.1 220

11.2 二重积分的计算 220

11.2.1 直角坐标系下二重积分的计算 220

11.2.2 极坐标系下二重积分的计算 225

习题11.2 227

11.3 对弧长的曲线积分 228

11.3.1 对弧长的曲线积分的概念与性质 228

11.3.2 对弧长的曲线积分的计算方法 230

习题11.3 232

11.4 对坐标的曲线积分 232

11.4.1 对坐标的曲线积分的概念与性质 232

11.4.2 对坐标的曲线积分的计算 234

11.4.3 格林公式 236

习题11.4 238

复习题十一 239

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