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第1章 极限与连续 1

第1节 预备知识 1

1.1 集合 1

1.2 区间与邻域 2

1.3 数集的界 3

1.4 映射与函数 4

习题1-1 14

第2节 数列极限 15

2.1 数列与子数列的概念 15

2.2 数列极限的概念 16

2.3 数列极限的性质 21

2.4 数列极限的四则运算法则 23

2.5 数列极限存在的判别定理 25

习题1-2 30

第3节 函数极限 32

3.1 自变量趋于无穷大时函数的极限 32

3.2 自变量趋于有限值时函数的极限 34

3.3 单侧极限 38

习题1-3 39

第4节 函数极限的性质与运算法则 39

4.1 函数极限的性质 40

4.2 函数极限的运算法则 41

习题1-4 45

第5节 函数极限存在的条件 46

5.1 归结原理 47

5.2 夹逼准则与两个重要极限 48

5.3 函数极限的柯西收敛准则 52

习题1-5 53

第6节 无穷小与无穷大 54

6.1 无穷小 54

6.2 无穷大 56

6.3 无穷小的比较 57

习题1-6 61

第7节 函数的连续性与间断点 62

7.1 函数的连续性 62

7.2 间断点及其分类 64

7.3 连续函数的性质 66

习题1-7 69

第8节 闭区间上连续函数的性质 70

习题1-8 72

第9节 一致连续性 73

习题1-9 75

总习题一 75

第2章 导数与微分 78

第1节 导数的概念 78

1.1 引例 78

1.2 导数的定义 79

1.3 求导数举例 82

1.4 导数的几何意义 84

1.5 函数的可导性与连续性之间的关系 84

习题2-1 85

第2节 函数的求导法则 87

2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 87

2.2 反函数的求导法则 90

2.3 复合函数的求导法则 92

2.4 初等函数的求导公式与基本求导法则 95

习题2-2 96

第3节 隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数 98

3.1 隐函数的导数 98

3.2 由参数方程所确定的函数的导数 101

3.3 相关变化率 104

习题2-3 106

第4节 高阶导数 107

4.1 高阶导数的定义 107

4.2 高阶导数的运算法则 110

习题2-4 112

第5节 微分 113

5.1 微分的概念 113

5.2 微分的基本公式和运算法则 117

5.3 高阶微分 119

5.4 微分在近似计算中的应用 120

习题2-5 123

总习题二 124

第3章 中值定理与导数的应用 126

第1节 微分中值定理 126

1.1 费马定理 126

1.2 罗尔中值定理 127

1.3 拉格朗日中值定理 130

1.4 柯西中值定理 134

习题3-1 136

第2节 泰勒公式 138

习题3-2 146

第3节 洛必达法则 148

3.1 “0/0”型未定式 149

3.2 “∞/∞”型未定式 151

3.3 其他类型的未定式 152

3.4 使用洛必达法则应该注意的问题 154

习题3-3 156

第4节 函数的单调性与极值 157

4.1 函数的单调性 157

4.2 函数的极值 160

4.3 函数的最大值最小值 163

习题3-4 166

第5节 曲线的凸性与函数作图 169

5.1 曲线的凸性 169

5.2 渐近线 174

5.3 函数的作图 175

习题3-5 177

第6节 平面曲线的曲率 179

6.1 弧微分 179

6.2 曲线的曲率 180

6.3 曲率的计算 181

6.4 曲率圆与曲率半径 182

习题3-6 184

总习题三 185

第4章 不定积分 188

第1节 原函数与不定积分的概念 188

1.1 原函数与不定积分 188

1.2 基本积分表 191

1.3 不定积分的线性运算法则 193

习题4-1 195

第2节 不定积分的换元积分法与分部积分法 196

2.1 换元积分法 197

2.2 分部积分法 205

习题4-2 209

第3节 有理函数的不定积分 211

习题4-3 217

第4节 可有理化函数的不定积分 218

4.1 三角函数有理式的不定积分 218

4.2 简单无理函数的不定积分 220

习题4-4 221

总习题四 222

第5章 定积分及其应用 225

第1节 定积分的概念 225

1.1 具体实例 225

1.2 定积分的定义 228

1.3 定积分的几何意义 231

习题5-1 233

第2节 定积分的性质 234

2.1 定积分的基本性质 234

2.2 积分中值定理 238

习题5-2 239

第3节 微积分基本定理 240

习题5-3 245

第4节 定积分的计算方法 247

4.1 定积分的换元积分法 247

4.2 定积分的分部积分法 251

习题5-4 253

第5节 定积分的几何应用举例 256

5.1 平面图形的面积 257

5.2 体积 259

5.3 平面曲线的弧长 264

习题5-5 265

第6节 定积分在物理中的应用 267

6.1 质量 267

6.2 功 269

6.3 液体的压力 270

6.4 引力 271

6.5 静力矩与质心 272

6.6 转动惯量 274

6.7 平均值、均方根值 276

习题5-6 277

第7节 定积分的近似计算 279

7.1 矩形法 279

7.2 梯形法 280

7.3 抛物线法 281

习题5-7 283

总习题五 283

第6章 反常积分 286

第1节 积分限为无穷的反常积分 286

1.1 积分限为无穷的反常积分概念 286

1.2 积分限为无穷的反常积分性质及判别法 291

习题6-1 295

第2节 无界函数的反常积分 296

2.1 无界函数的反常积分概念 297

2.2 无界函数的反常积分的性质及判别法 300

习题6-2 304

总习题六 306

第7章 微分方程 307

第1节 微分方程的基本概念 307

1.1 引例 307

1.2 常微分方程的基本概念 308

习题7-1 311

第2节 一阶微分方程 311

2.1 可分离变量的微分方程 312

2.2 可化为可分离变量型的方程 313

2.3 一阶线性微分方程 314

2.4 伯努利方程 317

习题7-2 318

第3节 可降阶的高阶微分方程 321

3.1 y（n）＝f（x）的情形 321

3.2 y″＝f（x，y′）的情形 322

3.3 y″＝f（y，y′）的情形 323

3.4 其他情形 324

3.5 二阶微分方程应用举例 326

习题7-3 330

第4节 线性微分方程解的结构 331

4.1 二阶齐次线性微分方程解的结构 331

4.2 二阶非齐次线性微分方程解的结构 332

4.3 解线性微分方程的常数变易法 334

习题7-4 336

第5节 常系数线性微分方程 337

5.1 二阶常系数齐次线性微分方程 337

5.2 二阶常系数非齐次线性微分方程 340

5.3 欧拉方程 345

5.4 常系数线性微分方程应用举例 346

习题7-5 350

总习题七 351

附录 几个三角函数与反三角函数的图像与性质 354

部分习题答案 354

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