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第一章 集合与映射 1

1集合 1

集合 1

集合运算 4

有限集与无限集 5

Descartes乘积集合 7

习题 8

2映射与函数 9

映射 9

一元实函数 11

初等函数 12

函数的分段表示、隐式表示与参数表示 13

函数的简单特性 16

两个常用不等式 17

习题 18

第二章 数列极限 21

1实数系的连续性 21

实数系 21

最大数与最小数 22

上确界与下确界 23

附录Dedekind切割定理 25

习题 27

2数列极限 28

数列与数列极限 28

数列极限的性质 32

数列极限的四则运算 36

习题 37

3无穷大量 39

无穷大量 39

待定型 41

习题 43

4收敛准则 44

单调有界数列收敛定理 44

π和e 48

闭区间套定理 52

子列 53

Bolzano-Weierstrass定理 53

Cauchy收敛原理 54

实数系的基本定理 56

习题 58

第三章 函数极限与连续函数 60

1函数极限 60

函数极限的定义 60

函数极限的性质 62

函数极限的四则运算 65

函数极限与数列极限的关系 66

单侧极限 67

函数极限定义的扩充 68

习题 72

2连续函数 74

连续函数的定义 74

连续函数的四则运算 77

不连续点类型 77

反函数连续性定理 79

复合函数的连续性 81

习题 83

3无穷小量与无穷大量的阶 84

无穷小量的比较 84

无穷大量的比较 86

等价量 88

习题 91

4闭区间上的连续函数 91

有界性定理 92

最值定理 92

零点存在定理 93

中间值定理 94

一致连续概念 94

习题 99

第四章 微分 100

1微分和导数 100

微分概念的导出背景 100

微分的定义 101

微分和导数 102

习题 104

2导数的意义和性质 104

产生导数的实际背景 104

导数的几何意义 105

单侧导数 108

习题 110

3导数四则运算和反函数求导法则 111

从定义出发求导函数 111

求导的四则运算法则 113

反函数求导法则 115

习题 118

4复合函数求导法则及其应用 119

复合函数求导法则 119

一阶微分的形式不变性 122

隐函数求导与求微分 123

复合函数求导法则的其他应用 124

习题 127

5高阶导数和高阶微分 129

高阶导数的实际背景及定义 129

高阶导数的运算法则 132

高阶微分 136

习题 138

第五章 微分中值定理及其应用 140

1微分中值定理 140

函数极值与Fermat引理 140

Rolle定理 141

Lagrange中值定理 143

用Lagrange中值定理讨论函数性质 144

Cauchy中值定理 151

习题 153

2 L’ Hospital法则 155

待定型极限和L’ Hospital法则 155

可化为0/0型或∞/∞型的极限 158

习题 161

3 Taylor公式和插值多项式 162

带Peano余项的Taylor公式 162

带Lagrange余项的Taylor公式 163

插值多项式和余项 164

Lagrange插值多项式和Taylor公式 167

习题 170

4函数的Taylor公式及其应用 171

函数在x＝0处的Taylor公式 171

Taylor公式的应用 175

习题 183

5应用举例 184

极值问题 185

最值问题 186

数学建模 189

函数作图 191

习题 195

6方程的近似求解 197

解析方法和数值方法 197

二分法 197

Newton迭代法 198

计算实习题 203

第六章 不定积分 205

1不定积分的概念和运算法则 205

微分的逆运算——不定积分 205

不定积分的线性性质 207

习题 209

2换元积分法和分部积分法 210

换元积分法 210

分部积分法 215

基本积分表 218

习题 221

3有理函数的不定积分及其应用 223

有理函数的不定积分 223

可化成有理函数不定积分的情况 227

习题 229

第七章 定积分 232

1定积分的概念和可积条件 232

定积分概念的导出背景 232

定积分的定义 235

Darboux和 236

Riemann可积的充分必要条件 239

习题 243

2定积分的基本性质 244

习题 250

3微积分基本定理 251

从实例看微分与积分的联系 251

微积分基本定理——Newton-Leibniz公式 253

定积分的分部积分法和换元积分法 255

习题 264

4定积分在几何计算中的应用 267

求平面图形的面积 267

求曲线的弧长 270

求某些特殊的几何体的体积 274

求旋转曲面的面积 276

曲线的曲率 278

习题 281

附录 常用几何曲线图示 284

5微积分实际应用举例 287

微元法 287

由静态分布求总量 287

求动态效应 289

简单数学模型和求解 290

从Kepler行星运动定律到万有引力定律 292

习题 294

6定积分的数值计算 295

数值积分 295

Newton-Cotes求积公式 296

复化求积公式 299

Gauss型求积公式 301

计算实习题 303

第八章 反常积分 305

1反常积分的概念和计算 305

反常积分 305

反常积分计算 310

习题 314

计算实习题 315

2反常积分的收敛判别法 315

反常积分的Cauchy收敛原理 315

非负函数反常积分的收敛判别法 316

一般函数反常积分的收敛判别法 318

无界函数反常积分的收敛判别法 321

习题 324

部分习题答案与提示 327

索引 356

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