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第1章 函数的极限与连续 1

1.1 初等函数 1

1.1.1 函数的概念 1

1.1.2 函数的几种特性 4

1.1.3 反函数、复合函数和初等函数 6

习题1.1 11

1.2 极限 12

1.2.1 数列的极限 12

1.2.2 函数的极限 14

1.2.3 无穷小量与无穷大量 18

习题1.2 21

1.3 极限的运算 22

1.3.1 极限的四则运算法则 22

1.3.2 极限的存在准则 24

1.3.3 两个重要极限 26

习题1.3 28

1.4 函数的连续性 29

1.4.1 连续函数的概念 29

1.4.2 函数的间断点及其分类 31

1.4.3 初等函数的连续性 33

1.4.4 闭区间上连续函数的性质 34

习题1.4 36

总习题1 37

第2章 导数与微分 40

2.1 导数的概念 40

2.1.1 引例 40

2.1.2 导数的定义 41

2.1.3 求导实例 44

2.1.4 导数的几何意义 46

2.1.5 函数的可导性与连续性的关系 46

习题2.1 47

2.2 导数的运算 48

2.2.1 导数的四则运算法则 48

2.2.2 反函数的求导法则 49

2.2.3 基本初等函数的求导公式 51

2.2.4 复合函数的求导法则 52

2.2.5 隐函数的求导法则 55

2.2.6 对数求导法 56

2.2.7 参数方程求导 57

习题2.2 58

2.3 高阶导数 59

习题2.3 60

2.4 微分 61

2.4.1 微分的概念与几何意义 61

2.4.2 微分的运算 63

2.4.3 微分在近似计算中的应用 64

习题2.4 66

总习题2 66

第3章 微分中值定理与导数的应用 69

3.1 微分中值定理 69

3.1.1 罗尔定理 69

3.1.2 拉格朗日中值定理 71

3.1.3 柯西中值定理 74

习题3.1 76

3.2 洛必达法则 76

3.2.1 0/0型 77

3.2.2 ∞/∞型 78

3.2.3 可化为0/0型或∞/∞型的极限 79

习题3.2 82

3.3 泰勒公式 83

3.3.1 泰勒公式 83

3.3.2 几个常用函数的展开式 85

3.3.3 泰勒公式的应用 88

习题3.3 90

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 90

3.4.1 函数单调性的判定法 90

3.4.2 曲线的凹凸与拐点 93

习题3.4 96

3.5 函数的极值与最值 97

3.5.1 函数的极值及其求法 97

3.5.2 最大值和最小值问题 101

习题3.5 104

3.6 函数图形的描绘 105

3.6.1 曲线的渐近线 105

3.6.2 函数图形的描绘 107

习题3.6 111

3.7 曲率与方程的近似解 111

3.7.1 弧微分 111

3.7.2 曲率及其计算公式 112

3.7.3 曲率圆与曲率半径 115

3.7.4 方程的近似解 116

习题3.7 119

总习题3 120

第4章 不定积分 122

4.1 不定积分的概念 122

4.1.1 原函数 122

4.1.2 不定积分 123

4.1.3 不定积分的几何意义 124

习题4.1 125

4.2 不定积分的基本公式与性质 126

4.2.1 不定积分的基本公式 126

4.2.2 不定积分的性质 127

习题4.2 129

4.3 不定积分的计算 130

4.3.1 第一类换元积分法 130

4.3.2 第二类换元积分法 133

4.3.3 分部积分法 136

习题4.3 140

4.4 几种特殊类型函数的积分举例 141

4.4.1 有理函数的积分 141

4.4.2 三角函数有理式的积分 146

4.4.3 简单无理式的积分 147

习题4.4 148

总习题4 149

第5章 定积分 153

5.1 定积分的概念与性质 153

5.1.1 引例 153

5.1.2 定积分的概念与几何意义 155

5.1.3 定积分的性质 157

习题5.1 159

5.2 牛顿-莱布尼茨公式 160

5.2.1 变上限的定积分及导数 160

5.2.2 牛顿-莱布尼茨公式 162

习题5.2 164

5.3 定积分的计算 164

5.3.1 定积分的换元积分法 164

5.3.2 定积分的分部积分法 167

习题5.3 169

5.4 广义积分 170

5.4.1 无穷区间上的广义积分 170

5.4.2 无界函数的广义积分 171

习题5.4 173

总习题5 173

第6章 定积分的应用 176

6.1 定积分的元素法 176

6.2 定积分在几何上的应用 177

6.2.1 求平面图形的面积 177

6.2.2 求旋转体的体积 179

6.2.3 求平面曲线的弧长 181

习题6.2 182

6.3 定积分在物理中的应用 182

6.3.1 求变力做功 182

6.3.2 求液体的压力 183

习题6.3 184

6.4 定积分在经济管理中的应用 184

习题6.4 185

总习题6 185

第7章 微分方程 187

7.1 微分方程的基本概念 187

习题7.1 190

7.2 可分离变量的微分方程 190

习题7.2 196

7.3 一阶齐次方程 197

习题7.3 200

7.4 一阶线性微分方程 200

习题7.4 204

7.5 可降阶的高阶微分方程 205

习题7.5 211

7.6 二阶常系数线性微分方程 211

7.6.1 二阶常系数齐次线性微分方程 211

7.6.2 二阶常系数非齐次线性微分方程 215

习题7.6 220

总习题7 221

参考文献 223

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