上篇 装备精良“兵器”——掌握基本方法 1
第一章 分析法 综合法 2
一、分析法 2
1．选择型分析法 3
2．可逆型分析法 5
3．构造型分析法 7
4．设想型分析法 8
二、综合法 10
1．分析型综合法 15
2．奠基型综合法 15
3．媒介型综合法 16
4．解析型综合法 18
练习题1.1 20
练习题1.1 参考解答 22
第二章 反证法 同一法 25
一、反证法 25
1．什么是反证法 25
2．何时用反证法 28
3．怎样用好反证法 31
二、同一法 33
1．什么是同一法 33
2．怎样用好同一法 35
练习题1.2 38
练习题1.2 参考解答 40
第三章 面积法 45
一、面积法解题的基本依据 45
1．几个面积公式 45
2．几个常用的等积变形定理 46
3．几个常用的面积比定理 46
4．几个重要结论 46
二、面积法的解题方式 50
1．解面积问题 50
2．解非面积问题——证有关定理 51
3．解非面积问题——求解各类问题 53
练习题1.3 58
练习题1.3 参考解答 60
第四章 割补法 65
一、挖掘题设内涵，进行图形割补拼凑重组 65
1．既割又补，探其奥妙 65
2．多次割补拼凑重组，大开眼界 66
3．多种割补，解法多多 67
二、根据题设特征，巧补各类图形 68
1．补出三角形 68
2．补出直角三角形 69
3．补出等腰三角形 70
4．补出正三角形 71
5．补出平行四边形或梯形 72
6．补出矩形或正方形 72
7．补出正多边形 73
8．补出圆 74
9．补对称图 75
三、分析题设结构，善用出入相补 76
练习题1.4 78
练习题1.4 参考解答 78
第五章 代数法 80
一、适时使用计算手段 80
1．直接计算 80
2．进行代换后计算 82
3．应用公式转化后计算 83
二、巧妙借助代数模型 84
1．借助函数模型 84
2．借助方程模型 86
3．借助方程组模型 88
4．借助不等式模型 89
5．借助多项式模型 91
练习题1.5 92
练习题1.5 参考解答 93
第六章 参量法 三角法 97
一、参量法 97
1．引入线段参量 97
2．引入线段比参量 100
3．引入面积参量 101
4．引入角参量 104
二、三角法 105
1．显式问题 105
2．隐式问题 107
练习题1.6 117
练习题1.6 参考解答 120
第七章 几何变换法 130
一、合同变换法 130
1．平移变换 130
2．轴反射变换 132
3．旋转变换 134
4．中心对称变换 136
二、相似变换法 137
1．图形的相似 137
2．位似变换 138
3．位似旋转变换 140
三、等积变换法 141
四、反演变换法 142
1．求解直线与圆、圆与圆的相切问题 144
2．证明点共圆、点共直线 144
3．求解线段关系式 146
4．证明角相等 147
5．求解其他问题 148
练习题1.7 148
练习题1.7 参考解答 150
第八章 坐标法 154
一、平面直角坐标系 154
二、平面极坐标 161
三、平面斜（仿射）坐标 166
四、面积坐标（重心坐标） 169
练习题1.8 173
练习题1.8 参考解答 174
第九章 向量法 180
一、向量的有关基础知识 180
二、向量法解平面几何问题的方式与技巧 182
1．善于运用向量线性运算及性质 182
2．善于运用向量的三角形不等式 185
3．善于运用向量的数量积 187
4．善于运用向量的矢量积 189
练习题1.9 192
练习题1.9 参考解答 194
第十章 复数法 200
一、基本几何量的复数表示及基本结论 200
二、复数法运用的方式与技巧 203
1．用向量法求解的问题也可用复数法求解 203
2．运用复数知识可有多种解法 203
3．灵活运用复数知识求解各类问题 205
练习题1.1 0 214
练习题1.1 0参考解答 215
第十一章 射影法 219
一、作出点的射影，显现求解媒介量 219
二、运用射影定理，转化求解关系式 221
三、善用平面射影变换，巧解各类问题 223
1．射影变换的基本知识 223
2．射影变换解题举例 227
练习题1.1 1 231
练习题1.1 1参考解答 233
第十二章 消点法 235
练习题1.1 2 240
练习题1.1 2参考解答 240
第十三章 物理方法 245
一、运用力学原理 245
1．重心原理 245
2．力系平衡原理 249
二、运用光学原理 250
练习题1.1 3 251
练习题1.1 3参考解答 252
第十四章 完全归纳法 数学归纳法 255
一、完全归纳法 255
二、数学归纳法 257
练习题1.1 4 259
练习题1.1 4参考解答 260
第十五章 构造法 262
一、构造欲求结论 262
二、构造有关模式 264
三、对称思考构造 268
练习题1.1 5 270
练习题1.1 5参考解答 271
下篇懂得诸子“兵法”——熟悉基本思路 275
第一章 线段相等问题的求解思路 276
一、注意到三角形中等角对等边 276
二、注意到特殊多边形的性质 277
三、注意到全等三角形的对应边相等 278
四、注意到圆中的等弧（圆周角）对等弦 279
五、注意到线段中垂线、垂径分弦等性质 279
六、注意到成比例线段间的数量关系 280
七、进行计算、代换等来转换求解 281
八、注意运用边比定理、张角定理等求解 282
九、运用结论“梯形两腰延长线的交点与对角线交点的连线平分上下底”证线段相等 283
十、注意到面积方法的运用 284
十一、注意其他结论与其他方法的运用 284
练习题2.1 286
练习题2.1 参考解答 288
第二章 角度相等问题的求解思路 294
一、注意到全等多边形的对应角相等 294
二、注意到相似多边形的对应角相等 295
三、注意到特殊多边形（如等腰三角形、等腰梯形、平行四边形等）的性质 295
四、注意到角的平分线定义与性质及多边形内心性质求解 296
五、注意到圆中的几类角间的关系 298
六、运用计算或转换求解 298
七、注意到三角形内角平分线性质定理的逆定理求解 299
八、运用三角函数关系式求解 300
九、运用几何变换（平移、对称、旋转、相似、位似）求解 302
十、运用其他结论或方法求解 302
练习题2.2 303
练习题2.2 参考解答 305
第三章 直线平行问题的求解思路 308
一、注意到内错角相等 308
二、注意到同位角相等 309
三、注意到两直线与第三条直线都垂直（或平行） 310
四、注意到两直线上的线段构成平行四边形的一组对边 310
五、注意到两直线上的线段是三角形（或梯形）的中位线与底边 311
六、注意到三角形一边的平行线的判定定理或平行线分线段成比例定理的逆定理 312
七、注意到同圆中夹等弧且无交点的两弦（或一弦与一切线）平行的事实 313
八、注意到过相交（或相切）两圆交点分别作割线交两圆于四点，同一圆上的两点的弦互相平行的事实 314
九、注意到同底等面积的两三角形的底边与同侧另两对应顶点所在直线平行的事实 315
练习题2.3 315
练习题2.3 参考解答 316
第四章 直线垂直问题的求解思路 320
一、注意到相交成直角的两直线垂直 320
二、注意到相交得邻补角相等的两直线垂直 321
三、注意到直径所张圆周角两边垂直 321
四、注意到如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，则也和另一条垂直 322
五、注意到分别与两互垂的直线平行的直线垂直 323
六、注意到等腰三角形的性质 323
七、注意到三角形的垂心性质 324
八、注意到菱形对角线互垂的性质 324
九、注意到同圆中夹弧和为半圆周的相交两弦垂直 325
十、注意到与直角三角形相似对应于直角的角的两边垂直 325
十一、注意到分别为两边对应垂直的两个相似三角形的第三边也互相垂直 326
十二、注意到证明两线段垂直的一种计算方法（即定差幂线定理） 326
十三、注意到勾股定理的逆定理 327
十四、注意到有关垂直结论的运用 327
十五、注意到同一法（或反证法）等方法的运用 329
练习题2.4 330
练习题2.4 参考解答 331
第五章 点共直线问题的求解思路 336
一、欲证X,Y,Z三点共线，联结XY和YZ，证明∠XYZ=180° 336
二、欲证X,Y,Z三点共线，适当地选一条过Y的直线PQ，证∠XYQ=∠PYZ 337
三、欲证X,Y,Z三点共线，适当地选一条过X的射线XP，证∠PXY=∠PXZ 338
四、欲证X,Y,Z三点共线，联结XY,YZ（或XZ），证其都垂直（或平行）于某直线 338
五、欲证X,Y,Z三点共线，证XY+YZ=XZ 339
六、欲证三点共线，证其中一点在联结另两点的直线上 340
七、欲证三点共线，适当地选取位似中心，或证它们的象共线，或证它们以其中一点为位似中心，另两点为一双对应点 340
八、运用面积方法证三点共线 341
九、运用张角定理证三点共线 342
十、运用梅涅劳斯定理及角元形式之逆定理证三点共线 342
十一、运用有关点共线定理证点共线 344
十二、运用有关结论证三点共线 345
练习题2.5 347
练习题2.5 参考解答 350
第六章 直线共点问题的求解思路 358
一、先设其中的两直线交于某点，再证这个交点在第三、第四……条直线上 358
二、欲证直线l1,l2,…,lk共点，先在li上取一特殊点，再证其余直线都过此点 359
三、设法证两两相交直线的交点重合 359
四、运用三角形的巧合点（内心、外心、垂心、重心、旁心等）证直线共点 361
五、注意到特殊图形或多边形的中心的性质，证直线共点于图形中的特殊点 362
六、运用旋转、轴反射等变换的保结合性证明直线共点 362
七、运用位似图形的对应顶点的连线必过位似中心证直线共点 363
八、运用塞瓦定理角元形式的推论或塞瓦定理之逆定理证直线共点 364
九、运用斯坦纳定理之逆定理证直线共点 366
十、运用牛顿定理、笛沙格定理的逆定理证直线共点 366
十一、运用根心定理证直线共点 367
十二、运用解析法证直线共点 368
十三、运用反证法、同一法等其他方法证直线共点 368
练习题2.6 369
练习题2.6 参考解答 372
第七章 点共圆问题的求解思路 378
一、注意到圆的定义：若n（n≥4）个点与某定点的距离都相等，则这n个点共圆 378
二、注意到若线段AC与BD相交且∠ACB=∠ADB，则A,B,C,D共圆；线段的同侧张角相等时，其张角顶点与线段端点共圆 378
三、注意到若凸四边形中有一组对角互补，则它的四个顶点共圆 379
四、注意到若凸四边形的一个外角等于它的内对角，则四边形的四个顶点共圆 380
五、注意到相交弦定理、割线定理、切割线定理的逆定理的运用 380
六、注意到托勒密定理的逆定理的运用 381
七、注意到矩形、等腰梯形四顶点是共圆的 381
八、利用三角形内角平分线上一点的性质证四点共圆 382
九、利用与有外接圆的多边形相似的多边形的顶点共圆 384
十、欲证多点（多于四点）共圆，先证四点（或四点以上）共圆，再证其余的点也在这个圆上 384
十一、欲证多点共圆，先分别证几组点共圆，再证这几个圆重合（至少有三点共圆） 385
十二、运用同一法等其他方法证四点共圆 386
练习题2.7 386
练习题2.7 参考解答 388
第八章 圆共点问题的求解思路 393
一、证诸圆均过图形中的某一个特殊点 393
二、证其中两圆的某一交点在其他各圆上 393
练习题2.8 395
练习题2.8 参考解答 396
第九章 相切问题的求解思路 399
一、证明直线垂直于半径（或直径）且过半径（直径）端点或者反之而证得直线与圆相切 399
二、证明直线与圆的一条切线关于过圆心的割线对称证得直线与圆相切 401
三、利用弦切角定理的逆定理证明直线与圆相切 402
四、利用切割线定理的逆定理证明直线与圆相切 403
五、根据特殊图形中的线与圆相切的结论来证直线与圆相切 405
六、通过直接计算推导证明直线与圆相切或通过间接证明（采用同一法等）证明直线与圆相切 408
七、计算两圆半径（或直径）和差值与圆心间距离的关系证明两圆相切 410
八、证明两圆在一点切于同一条直线来证得两圆相切 412
九、运用位似、反演等几何变换证明两圆相切 414
十、借助于相切处理问题 415
练习题2.9 423
练习题2.9 参考解答 425
第十章 几何定值、定位问题的求解思路 435
一、定值问题 435
1．取特殊位置探猜，在一般位置论证 435
2．取极端位置探猜，在一般位置论证 436
3．利用有关公式直接计算 437
4．运用有关结论推导计算 437
5．借助于其他方法（如割补法、复数法、坐标法等）和工具（如多项式等）推导计算 440
二、定位问题 441
1．特殊位置定位，一般位置论证 441
2．变中寻定 442
3．转化为求解定值问题，由定值定位置 442
4．运用有关公式及结论推导论证 442
三、隐性定值、定位问题 443
练习题2.1 0 444
练习题2.1 0参考解答 446
第十一章 几何极（最）值问题的求解思路 450
一、注意到图形中的特殊点 450
二、注意到图形中元素间相互特殊关系 451
三、引入变元，利用二次函数的极值性求解 452
四、构造二次方程，利用判别式来求解 453
五、引入三角函数，利用三角函数的极值性求解 454
六、引入参量，利用不等式来求解 455
七、灵活运用等周定理等有关结论 457
练习题2.1 1 457
练习题2.1 1参考解答 458
第十二章 几何不等式的求解思路 461
一、充分利用关于不等式熟知的几何结论 461
二、运用放缩，将不等式转化为等式求解 463
三、用三角函数表示有关几何量，借助三角函数的增减性、有界性求解 464
四、用参量表示有关几何量，借助于代数不等式求解 464
五、借助于著名的几何不等式求解 466
六、三角形不等式的几种特殊求解思路 468
1．巧用统一代数替换 468
2．巧用边的对称齐次多项式性质 469
3．注意到三角形不等式的等价变形 469
4．巧用三角函数形式的相关关系 470
5．利用母不等式，巧取特值 471
6．灵活运用变换原则 472
练习题2.1 2 472
练习题2.1 2参考解答 473
第十三章 点的轨迹、作图问题的求解思路 477
一、轨迹问题 477
1．第Ⅰ型轨迹问题要从两方面证明 478
2．第Ⅱ型轨迹问题既要探求，又要从两方面证明、讨论 478
3．第Ⅲ型轨迹问题关键在于探求，探求时可从描迹、条件代换、几何变换、几何动态、运用解析法等诸方面去考虑 479
二、作图问题 480
1．代数法 481
2．交轨法 482
3．三角形奠基法 482
4．变换法 483
练习题2.1 3 483
练习题2.1 3参考解答 484
附录 数学奥林匹克中的几何问题研究与几何教学探讨 486
