高等数学高分必备解题方法和技巧分析PDF电子书下载

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第1章 函数 1

1.1 本章解决的主要问题 1

1.2 典型问题解题方法与分析 1

1.2.1 函数定义域的确定 1

1.2.2 函数的运算及其表达式的计算 3

1.2.2.1 利用基本初等函数的性质求函数表达式 4

1.2.2.2 利用复合函数的定义求复合函数的表达式及复合函数的分解 6

1.2.2.3 利用函数关系求反函数表达式 9

1.2.2.4 利用变量代换求函数表达式 11

1.2.2.5 曲线的极坐标表示及常见的极坐标曲线 12

1.2.3 函数的几何性质及其应用 15

1.2.3.1 函数奇偶性的判别 15

1.2.3.2 函数周期性的判别 17

1.2.3.3 函数单调性的判别 20

1.2.3.4 函数有界性的判别 22

1.3 习题一 24

第2章 导数与极限 26

2.1 本章解决的主要问题 26

2.2 典型问题解题方法与分析 26

2.2.1 函数极限的计算 26

2.2.1.1 利用极限的四则运算法则求极限 27

2.2.1.2 利用两个重要极限求极限 29

2.2.1.3 利用等价无穷小代换求极限 32

2.2.1.4 利用变量代换求极限 34

2.2.1.5 利用“有界量与无穷小的乘积仍为无穷小”的结论求极限 35

2.2.1.6 利用“极限基本定理”求极限 36

2.2.1.7 利用函数的连续性求极限 38

2.2.1.8 利用“夹逼准则”求极限 39

2.2.2 分段函数在分段点处极限的计算 41

2.2.3 数列极限的计算 44

2.2.3.1 利用数列极限的性质以及计算函数极限的一些方法计算 44

2.2.3.2 利用“夹逼准则”求数列极限 46

2.2.3.3 利用“单调有界收敛准则”计算数列极限 49

2.2.3.4 利用数列极限的定义计算极限 51

2.2.4 无穷小的比较及其阶数和主部的计算 53

2.2.4.1 利用无穷小的阶的定义比较或确定无穷小的阶 53

2.2.4.2 利用等价无穷小代换求无穷小的阶数和主部 55

2.2.4.3 利用“无穷小等价的充要条件”求无穷小的阶数和主部 57

2.2.5 函数连续性的判别 59

2.2.5.1 利用函数连续的定义讨论函数连续性 59

2.2.5.2 利用初等函数的连续性性质讨论函数连续性 61

2.2.5.3 利用连续与左右连续间的等价关系讨论函数连续性 62

2.2.6 函数间断点类型的判别 64

2.2.7 闭区间上连续函数的性质及其应用 67

2.2.7.1 闭区间上连续函数性质在方程根的存在性问题中的应用 67

2.2.7.2 闭区间上连续函数性质在等式证明问题中的应用 68

2.2.8 显函数的导数计算 72

2.2.8.1 利用导数的定义求导数 72

2.2.8.2 利用导数的四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法则求导数 76

2.2.8.3 利用对数求导法则求导数 81

2.2.9 分段函数的导数计算及其在分段点处的可导性问题 83

2.2.10 隐函数的导数计算 87

2.2.11 由参数方程、极坐标方程确定的函数的导数计算 90

2.2.12 高阶导数的计算 93

2.2.12.1 显函数的高阶导数计算 93

2.2.12.2 隐函数的高阶导数计算 101

2.2.12.3 由参数方程、极坐标方程确定的函数的高阶导数计算 103

2.3 习题二 106

第3章 微分学的基本定理 111

3.1 本章解决的主要问题 111

3.2 典型问题解题方法与分析 111

3.2.1 微分的计算 111

3.2.2 微分在近似计算中的应用 115

3.2.2.1 利用函数的线性近似计算函数近似值 115

3.2.2.2 微分在函数增量估计中的应用 117

3.2.3 罗尔定理、费马定理在证明函数零点问题中的应用 119

3.2.4 微分中值定理在等式证明问题中的应用 125

3.2.4.1 运用函数恒等于常数的条件证明恒等式 125

3.2.4.2 运用函数的零点问题证明等式 126

3.2.4.3 运用拉格朗日、柯西中值定理证明等式 129

3.2.5 拉格朗日、柯西中值定理在不等式证明问题中的应用 134

3.2.6 洛必达法则计算极限的应用 138

3.2.6.1 0／0，∞／∞未定型极限的计算 139

3.2.6.2 0·∞，∞—∞未定型极限的计算 142

3.2.6.3 1∞，∞0，00未定型极限的计算 147

3.2.7 函数的泰勒公式展开及其泰勒公式在极限问题中的应用 150

3.2.7.1 函数的泰勒公式展开 150

3.2.7.2 泰勒公式在极限问题中的应用 154

3.2.8 泰勒公式在等式与不等式证明问题中的应用 159

3.2.8.1 泰勒公式在等式证明问题中的应用 159

3.2.8.2 泰勒公式在不等式证明问题中的应用 162

3.3 习题三 165

第4章 导数的应用 169

4.1 本章解决的主要问题 169

4.2 典型问题解题方法与分析 169

4.2.1 函数单调性的判别及其单调性在不等式证明问题中的应用 169

4.2.1.1 函数单调性的判别 169

4.2.1.2 单调性在不等式证明问题中的应用 172

4.2.2 函数极值、最值的计算及其最值问题的应用 174

4.2.2.1 函数极值的计算 175

4.2.2.2 函数最值的计算及最值应用问题 180

4.2.2.3 运用函数最值证明不等式 184

4.2.3 函数凹凸性的判别、拐点的计算以及运用凹凸性证明不等式 186

4.2.3.1 函数凹凸性的判别 186

4.2.3.2 曲线拐点的计算 188

4.2.3.3 运用函数的凹凸性证明不等式 191

4.2.4 方程根个数的判别 193

4.2.5 曲率的计算 194

4.2.6 渐近线的计算 197

4.2.7 函数图形的描绘 201

4.2.8 相关变化率的计算 203

4.3 习题四 206

第5章 积分 210

5.1 本章解决的主要问题 210

5.2 典型问题解题方法与分析 210

5.2.1 运用定积分性质、牛顿-莱布尼茨公式计算定积分 210

5.2.2 变限积分函数的导数计算 212

5.2.3 变限积分函数的单调性、极值、最值、凹凸性问题 216

5.2.4 与积分有关的极限问题 219

5.2.5 积分等式的证明（一）——运用积分性质和微分学的方法 225

5.2.6 积分不等式的证明（一）——运用积分性质和微分学的方法 232

5.3 习题五 242

第6章 积分法 245

6.1 本章解决的主要问题 245

6.2 典型问题解题方法与分析 245

6.2.1 不定积分的计算 245

6.2.1.1 运用不定积分的运算性质、基本积分公式计算不定积分 245

6.2.1.2 运用不定积分的第一换元法（凑微分法）计算不定积分 246

6.2.1.3 运用不定积分的第二换元法计算不定积分 251

6.2.1.4 运用不定积分的分部积分法计算不定积分 255

6.2.1.5 有理式、三角有理式和简单无理函数的不定积分计算 264

6.2.2 定积分的计算 272

6.2.2.1 运用定积分的凑微分法计算定积分 272

6.2.2.2 运用定积分的换元法计算定积分 276

6.2.2.3 运用定积分的分部积分法计算定积分 279

6.2.2.4 运用奇偶函数、周期函数的定积分性质计算定积分 283

6.2.3 积分等式与积分不等式的证明问题（二）——运用定积分计算的方法 287

6.2.3.1 运用定积分计算法证明积分等式 288

6.2.3.2 运用定积分计算法证明积分不等式 294

6.2.4 定积分在数列极限计算中的应用 296

6.3 习题六 298

第7章 定积分的应用与广义积分 302

7.1 本章解决的主要问题 302

7.2 典型问题解题方法与分析 302

7.2.1 平面图形面积的计算 302

7.2.1.1 在直角坐标系下计算平面图形的面积 302

7.2.1.2 在极坐标系下计算平面图形的面积 306

7.2.2 平面曲线弧长的计算 311

7.2.3 立体体积的计算 313

7.2.3.1 平行截面面积为已知的立体体积计算 314

7.2.3.2 旋转体体积的计算 316

7.2.4 旋转体侧面积的计算 321

7.2.5 变力对直线移动物体做功的计算 324

7.2.6 液体对平板侧面压力的计算 328

7.2.7 广义积分的计算 330

7.2.7.1 无穷区间上的广义积分计算 330

7.2.7.2 无界函数的广义积分计算 337

7.3 习题七 343

第8章 无穷级数 347

8.1 本章解决的主要问题 347

8.2 典型问题解题方法与分析 347

8.2.1 数项级数的敛散性判别 347

8.2.1.1 利用级数定义及基本性质判别级数的敛散性 347

8.2.1.2 利用正项级数的判别法判别正项级数的敛散性 350

8.2.1.3 利用绝对收敛、莱布尼茨判别法、级数性质判别任意项级数的敛散性 362

8.2.2 幂级数以及与幂级数有关的函数项级数收敛域的计算 368

8.2.2.1 非缺项幂级数的收敛域的计算 369

8.2.2.2 缺项幂级数的收敛域的计算 371

8.2.2.3 一些与幂级数有关的函数项级数收敛域的计算 373

8.2.3 函数的幂级数展开 375

8.2.3.1 直接展开法 375

8.2.3.2 间接展开法 377

8.2.4 幂级数、数项级数的求和 385

8.2.4.1 幂级数求和 385

8.2.4.2 数项级数求和 391

8.3 习题八 397

第9章 常微分方程 401

9.1 本章解决的主要问题 401

9.2 典型问题解题方法与分析 401

9.2.1 一阶微分方程的求解 401

9.2.1.1 求解一阶可分离变量方程的分离变量法 401

9.2.1.2 求解一阶线性方程的公式法 403

9.2.1.3 求解齐次型方程、伯努利方程的变量代换法 405

9.2.1.4 一阶微分方程的变量代换法及其应用举例 411

9.2.2 二阶可降阶微分方程的求解 413

9.2.2.1 不显含因变量y的方程y″＝f（x，y′）的求解 413

9.2.2.2 不显含自变量x的方程y″＝f（y，y′）的求解 415

9.2.3 高阶线性微分方程的求解 418

9.2.3.1 高阶常系数线性齐次微分方程的求解 418

9.2.3.2 高阶常系数线性非齐次微分方程的求解 422

9.2.3.3 变量代换法求解欧拉方程以及其他高阶方程 431

9.2.4 微分方程的应用以及一些有关的问题 436

9.2.4.1 微分方程在函数方程和积分方程问题中的应用 436

9.2.4.2 微分方程在几何问题上的应用 439

9.2.4.3 微分方程在变化率问题中的应用 442

9.2.4.4 微分方程在一些物理问题中的应用 444

9.2.4.5 微元法在建立微分方程中的应用 448

9.3 习题九 451

第10章 向量与空间解析几何 455

10.1 本章解决的主要问题 455

10.2 典型问题解题方法与分析 455

10.2.1 向量的几何与代数运算 455

10.2.1.1 向量的几何运算 455

10.2.1.2 向量的代数运算 461

10.2.2 平面方程的计算 464

10.2.2.1 利用平面的点法式方程求平面方程 465

10.2.2.2 利用平面的一般式方程求平面方程 467

10.2.2.3 利用平面的截距式方程求平面方程 470

10.2.2.4 利用三向量共面的充要条件求平面方程 471

10.2.2.5 利用过直线的平面束方程求平面方程 473

10.2.3 直线方程的计算 476

10.2.3.1 利用直线的点向式方程求直线方程 476

10.2.3.2 利用直线的一般式方程求直线方程 483

10.2.4 点到平面、点到直线、异面直线间距离的计算 486

10.2.4.1 点到平面距离的计算 486

10.2.4.2 点到直线距离的计算 487

10.2.4.3 异面直线间距离的计算 489

10.2.5 平面与平面、直线与直线、直线与平面间的夹角计算 491

10.2.5.1 两平面间夹角的计算 491

10.2.5.2 直线与平面、直线与直线之间夹角的计算 492

10.2.6 旋转曲面、柱面以及其他二次曲面方程的计算 494

10.2.6.1 旋转曲面方程的计算 494

10.2.6.2 柱面方程的识别和计算 496

10.2.6.3 二次曲面方程计算以及有关的其他问题 498

10.2.7 空间曲线在平面或坐标面上投影曲线的计算 502

10.3 习题十 504

第11章 多元函数微分学 508

11.1 本章解决的主要问题 508

11.2 典型问题解题方法与分析 508

11.2.1 多元函数的复合及定义域的计算 508

11.2.1.1 求多元函数定义域的方法 508

11.2.1.2 多元函数的复合及其应用 510

11.2.2 多元函数的极限计算及连续性的判定 511

11.2.2.1 多元函数极限的计算 512

11.2.2.2 多元函数连续性的判定 516

11.2.3 显函数形式表示的多元函数的偏导数计算 518

11.2.3.1 利用偏导数的定义及一元函数求导法则求偏导数 518

11.2.3.2 利用多元复合函数的链式法则计算偏导数 523

11.2.3.3 利用全微分计算偏导数 527

11.2.4 隐函数的偏导数计算 530

11.2.4.1 由一个方程确定的隐函数偏导数的计算 530

11.2.4.2 由方程组确定的隐函数偏导数的计算 533

11.2.5 多元函数可微性的讨论和全微分的计算 536

11.2.6 高阶偏导数的计算 541

11.2.7 方向导数、梯度的计算与应用 550

11.2.8 多元函数微分学在几何上的应用 555

11.2.8.1 空间曲线的切线与法平面方程的计算 555

11.2.8.2 空间曲面的切平面与法线方程的计算 558

11.2.9 多元函数的极值与最值计算 561

11.2.9.1 多元函数局部极值的计算 562

11.2.9.2 多元函数条件极值的计算 564

11.2.9.3 多元函数最值的计算及其应用问题 567

11.3 习题十一 572

第12章 多元函数的积分及其应用 578

12.1 本章解决的主要问题 578

12.2 典型问题解题方法与分析 578

12.2.1 二重积分的计算 578

12.2.1.1 在直角坐标系下计算二重积分 578

12.2.1.2 在极坐标系下计算二重积分 584

12.2.1.3 利用对称性性质计算二重积分 589

12.2.2 三重积分的计算 595

12.2.2.1 在直角坐标系下计算三重积分 595

12.2.2.2 在柱面坐标系下计算三重积分 603

12.2.2.3 在球面坐标系下计算三重积分 607

12.2.2.4 利用对称性性质计算三重积分 610

12.2.3 第一型曲线积分的计算 614

12.2.3.1 将第一型曲线积分化为定积分计算 615

12.2.3.2 利用对称性性质计算第一型曲线积分 618

12.2.4 第一型曲面积分的计算 622

12.2.4.1 将第一型曲面积分化为二重积分计算 622

12.2.4.2 利用对称性性质计算第一型曲面积分 625

12.2.5 有关多元函数积分的积分等式与积分不等式问题 628

12.2.5.1 有关多元函数积分的积分等式证明 629

12.2.5.2 有关多元函数积分的积分不等式证明 635

12.2.6 多元函数积分的应用 641

12.2.6.1 平面图形面积、空间立体体积的计算 641

12.2.6.2 空间曲面面积的计算 643

12.2.6.3 物体质量、质心、转动惯量的计算 647

12.2.6.4 物体引力的计算 656

12.3 习题十二 658

第13章 向量函数的积分 664

13.1 本章解决的主要问题 664

13.2 典型问题解题方法与分析 664

13.2.1 第二型平面曲线积分的计算与格林公式 664

13.2.1.1 将第二型平面曲线积分化为定积分计算 664

13.2.1.2 运用格林公式计算第二型平面曲线积分 667

13.2.1.3 运用曲线积分与路径无关、曲线积分基本定理计算第二型平面曲线积分 671

13.2.2 第二型曲面积分的计算与高斯公式 683

13.2.2.1 将第二型曲面积分化为二重积分或第一型曲面积分计算 683

13.2.2.2 运用高斯公式计算第二型曲面积分 691

13.2.2.3 运用无散度场的曲面积分性质计算第二型曲面积分 697

13.2.3 第二型空间曲线积分的计算与斯托克斯公式 703

13.2.3.1 将第二型空间曲线积分化为定积分计算 703

13.2.3.2 运用斯托克斯公式计算第二型空间曲线积分 706

13.2.3.3 运用无旋场曲线积分性质、曲线积分基本定理计算第二型空间曲线积分 710

13.2.4 与第二型曲线、曲面积分有关的积分等式与不等式问题 717

13.2.5 第二型曲线、曲面积分的应用 722

13.2.5.1 运用第二型平面曲线积分计算平面区域面积 722

13.2.5.2 变力沿曲线做功的计算 723

13.2.5.3 向量场通过曲面通量的计算 726

13.2.5.4 全微分方程的求解 728

13.3 习题十三 730

第14章 傅里叶级数 735

14.1 本章解决的主要问题 735

14.2 典型问题解题方法与分析 735

14.2.1 周期函数的傅里叶级数展开 735

14.2.2 有限区间上定义的函数的傅里叶级数展开 740

14.3 习题十四 751

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