数学物理方程 上PDF电子书下载

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第一章 数学模型 1

1.1 引言 1

（一）偏微分方程的基本概念 1

（二）数学物理的基本方法 3

（三）推导数理方程和定解条件的一般步骤 3

1.2 波动方程的导出 5

（一）弦（或杆）的振动 5

（二）膜的振动 8

（三）电磁波方程 8

1.3 输运方程的导出 10

（一）热量的传导 10

（二）物质的扩散 13

（三）源与方程的齐次性 14

（附）电报方程（传输线方程） 15

1.4 稳定场方程的导出 16

（一）稳态分布 16

（二）位势方程 17

1.5 定解条件 18

（一）初始条件 18

（二）边界条件 20

（附）衔接条件 25

1.6 定解问题及其适定性 27

（一）定解问题的常见类型 27

（二）布列定解问题举例 27

（三）解的概念和适定性问题 29

习题1 34

第二章 二阶线性方程初探 37

2.1 二阶线性方程的分类与化简 37

（一）问题的意义 37

（二）二元二阶线性方程的分类与化简 40

（三）二阶线性常系数标准型方程的再化简 45

（四）多元二阶线性方程的分类和标准型 46

2.2 线性问题的迭加原理 48

（一）线性问题和线性算符 48

（二）线性问题的迭加原理 50

（三）线性问题的分解与化归 52

2.3 求解初探 55

（一）通解法 55

（二）视察法 59

（三）解线性问题的一般径途 63

（四）从解的性质看方程分类的意义 69

习题2 70

第三章 分离变量法初步 73

3.1 特殊的一维混合问题 73

（一）两端固定时弦的自由振动 73

（二）两端绝热时杆的无源导热 77

（三）小结 78

（四）举例 80

（五）回顾与展望 83

3.2 一般的一维混合问题 83

（一）一般问题的化归与分解 83

（二）带有齐次定解条件的非齐次方程问题 85

（三）小结性的思考题 87

（四）技巧性举例 88

3.3 直角坐标的高维问题 92

（一）矩形域上的边值问题 93

（二）长方体上的混合问题 95

3.4 极坐标的边值问题 99

（一）扇形域问题·坐标系的选取 99

（二）圆内、外域或圆环域问题 102

（三）应用举例 106

3.5 斯特姆-刘维定理 110

（一）贝塞尔方程和勒让德方程的本征问题初议 111

（二）斯-刘型方程及其本征问题 114

（三）斯特姆-刘维定理 116

习题3 120

第四章 本征问题与特殊函数 125

4.1 柱、球坐标的本征问题的来源 125

（一）圆柱内边值问题的分离变量与本征问题 125

（二）球内混合问题的分离变量与本征问题 128

（三）小结 130

4.2 勒让德方程的本征问题与勒让德多项式 131

（一）Pl（x）的罗巨里格表达式 131

（二）母函数和递推公式 134

（三）｛Pl（x）｝的正交性和模方 139

（四）展开函数为傅里叶-勒让德级数 140

4.3 缔合勒让德函数和球函数 142

（一）缔合勒让德方程的本征函数 142

（二）｛Pm l（x）｝的正交性和模方 144

（三）球函数方程的本征问题·｛Ym l（θ，？）｝的正交性与模方 145

（四）展开函数为球函数系的级数 147

4.4 整数阶贝塞尔方程的本征问题和贝塞尔函数 148

（一）＊Jm（x）的母函数和积分表达式 148

（二）Jv（x）的递推公式与J±（2？+1）／2（x）的表达式 150

（三）Jm（x）的渐近展开式与零点分布 152

（四）整数阶贝塞尔方程的本征问题 153

（五）贝塞尔本征函数的正交性，模方和傅里叶-贝塞尔展开 156

4.5 柱函数和其它贝塞尔函数 159

（一）诺依曼函数和汉克尔函数·柱函数 159

（二）变形贝塞尔方程和变形贝塞尔函数 162

（三）球贝塞尔方程的本征问题和球贝塞尔函数 164

习题4 168

第五章 分离变量法续 171

5.1 圆柱内轴对称物理问题 171

（一）在圆柱两底面上有齐次边界条件的稳定场问题 171

（二）在圆柱侧面上有齐次边界条件的稳定场问题 173

（三）某些二维混合问题 177

5.2 柱坐标的其他一些物理问题 179

（一）长圆筒体的温度变化 179

（二）圆柱面的径向脉动 181

（三）非轴对称问题举例 184

5.3 球坐标的轴对称位势问题 189

（一）电荷轴对称分布的导体球壳 189

（二）点电荷静电场中的接地导体球壳 190

（三）匀强电场中的介质球 194

5.4 球坐标的一般位势问题 197

（一）带电介质球外的静电场 198

（二）电偶极子的静电场 199

5.5 球坐标的混合问题 201

（一）恒温箱内匀质球的温度变化 201

（二）球外声场 204

（三）平面波展开为球面波的迭加 205

习题5 208

第六章 行波法和傅氏变换法 212

6.1 一维自由波动问题的特征线法 212

（一）一维自由波动达朗贝尔解的剖析 212

（二）一维的半空间上自由波动问题的延拓法 214

6.2 高维自由波动问题的平均值法 219

（一）三维自由波动问题的平均值法 219

（二）二维自由波动问题的降维法 226

6.3 傅氏积分和傅氏变换 230

（一）几个重要概念·傅氏积分定理 230

（二）傅氏变换的性质和傅氏变换表 235

（三）多重傅氏积分和多维傅氏变换 239

6.4 无源输运问题的傅氏变换法 242

（一）一维无源输运问题的泊松公式 242

（二）一维的半空上的无源输运问题 244

（三）高维无源输运问题的泊松公式 246

6.5 其它问题的傅氏变换法 249

（一）自由波动问题的傅氏变换法 249

（二）双边无限区域上的边值问题 251

（三）有界域问题·三种解法的沟通 253

习题6 255

第七章 点源法 259

7.1 δ函数和冲量定理 260

（一）δ函数的概念和基本性质 260

（二）高维δ函数及其主要性质 263

（三）冲量定理 264

（四）冲量定理的种种推广 267

7.2 波动或输运问题的冲量定理法 268

（一）混合问题的冲量定理法 268

（二）初值问题的冲量定理法 270

7.3 格林函数法的思想和一维问题的格林函数法 274

（一）有界弦纯强追振动的新解法 274

（二）混合问题的格林函数和格林函数法的基本思想 275

（三）初值问题的格林函数法 280

7.4 边值问题的格林函数法 281

（一）泊松方程的基本解和积分公式 281

（二）边值问题的格林函数·电象法 283

（三）边值问题的积分公式 289

（四）边值问题的格林函数法举例 291

（附）上册结束语 294

习题7 296

附录 常用基础知识复习和扩充 299

0.1 场论与正交曲面坐标的拉氏算符 299

（一）标量场与矢量场 299

（二）梯度、散度和旋度 300

（三）哈密顿算符、拉氏算符和格林公式 304

（四）调和场及调和函数 306

（五）正交曲面坐标系 308

（六）球、柱、极坐标的拉氏算符表达式 309

复习题1 312

0.2 两个求导公式 313

（一）求乘积高阶导数的莱布尼兹公式 313

（二）含参变数积分的求导公式 314

复习题2 316

0.3 二阶线性常微分方程 317

（一）常系数齐次方程的通解与简谐方程的本征问题 317

（二）迭加原理与解的结构 322

（三）常数变易法与初值问题 324

（四）变量代换法与欧拉方程的解 327

复习题3 329

0.4 Γ函数的基本知识 330

（一）作为含参变量积分的Γ函数 330

（二）递推公式·阶乘与Γ函数的联系 331

（三）定义域的扩充 332

复习题4 333

0.5 常微分方程的幂级数解法 333

（一）幂级数复习 334

（二）常微分方程的幂级数解 338

（三）勒让德方程的幂级数解法 341

（四）贝塞尔方程的幂级数解法 344

复习题5 349

0.6 三角函数系和傅里叶级数 350

（一）三角函数系的正交性和完备性 350

（二）傅里叶级数和傅里叶展开 354

（三）复数形式的傅氏级数和多重傅氏级数 358

复习题6 362

附录 自我考查卷 363

上册习题答案与提示 366

附录 复习题答案 385

附录 自我考查卷答案 387

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