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第一篇 高等数学 3

第一章 函数 极限 连续 3

考点与要求 3

1 函数 3

内容精讲 3

一、函数的概念及常见的函数 3

二、函数的几种特性 5

例题分析 7

一、求反函数及复合函数的表达式 7

二、关于函数几种特性的讨论 8

2 极限 11

内容精讲 11

一、极限的概念 11

二、极限的性质 12

三、极限的存在准则 13

四、无穷小量 13

五、无穷大量 14

六、求极限的常用方法 14

例题分析 20

一、求函数的极限 20

二、求数列的极限 29

三、已知极限值求其中某些参数，或已知极限求与此有关的某极限 34

四、无穷小的比较 36

3 函数的连续性 38

内容精讲 38

一、连续的概念 38

二、间断点及分类 38

三、连续函数的性质 39

例题分析 39

一、讨论函数的连续性及间断点的类型 39

二、有关闭区间上连续函数性质的证明题 41

练习 41

第二章 一元函数微分学 43

考点与要求 43

1 导数与微分，导数的计算 43

内容精讲 43

一、定义 43

二、重要性质、定理、公式 44

例题分析 47

一、按定义求一点处的导数 47

二、已知f（x）在某点x＝x0处可导,求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求f（x）在x＝x0处的导数 49

三、绝对值函数的导数 53

四、由极限式表示的函数的可导性 54

五、导数与微分、增量的关系 55

六、求导数的计算题 55

2 导数的应用 57

内容精讲 57

一、定义 57

二、重要性质、定理、公式与方法 58

例题分析 60

一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论 60

二、渐近线 65

三、曲率与曲率圆 66

四、最大值、最小值问题 67

3 中值定理、不等式与零点问题 68

内容精讲 68

一、重要定理 68

二、重要方法 70

例题分析 71

一、不等式的证明 71

二、f（x）的零点与f′（x）的零点问题 76

三、复合函数ψ（x，f（x），f′（x））的零点 79

四、复合函数ψ（x，f（x），f′（x），f″（x））的零点 80

五、“双中值”问题 81

六、零点的个数问题 81

七、证明存在某ξ满足某不等式 83

八、利用中值定理求极限、f′（x）与f（x）的极限关系 84

练习 85

第三章 一元函数积分学 87

考点与要求 87

1 不定积分与定积分的概念、性质、理论 87

内容精讲 87

一、定义 87

二、重要性质、定理、公式 88

例题分析 89

一、分段函数的不定积分与定积分 89

二、定积分与原函数的存在性 91

三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分 92

2 不定积分与定积分的计算 95

内容精讲 95

一、基本积分公式 95

二、基本积分方法 96

例题分析 98

一、简单有理分式的积分 98

二、三角函数的有理分式的积分 99

三、简单无理式的积分 100

四、两种不同类型的函数相乘的积分 101

五、被积函数中含有导数或变限函数的积分 102

六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分 104

七、含参变量带绝对值号的定积分 105

八、积分计算杂例 106

3 反常积分及其计算 109

内容精讲 109

一、定义 109

二、重要性质、定理、公式 110

例题分析 111

一、反常积分的计算与反常积分的敛散性 111

二、关于奇、偶函数的反常积分 114

4 定积分的应用 115

内容精讲 115

一、基本方法 115

二、重要几何公式与物理应用 115

例题分析 117

一、几何应用 117

二、物理应用 119

5 定积分的证明题 123

内容精讲 123

例题分析 123

一、讨论变限积分所定义的函数的奇偶性、周期性、极值、单调性等 123

二、由积分定义的函数求极限 125

三、积分不等式的证明 127

四、零点问题 133

练习 135

第四章 多元函数微积分学 137

考点与要求 137

1 多元函数的极限、连续、偏导数与全微分 137

内容精讲 137

一、多元函数 137

二、二元函数的极限与连续 137

三、二元函数的偏导数与全微分 138

例题分析 140

一、讨论二重极限 140

二、讨论二元函数的连续性、偏导数存在性 142

三、讨论二元函数的可微性 144

2 多元函数的微分法 147

内容精讲 147

一、复合函数的偏导数与全微分 147

二、隐函数的偏导数与全微分 149

例题分析 149

一、求复合函数的偏导数与全微分 149

二、求隐函数的偏导数与全微分 157

3 极值与最值 161

内容精讲 161

一、无条件极值 161

二、条件极值 162

例题分析 162

一、无条件极值问题 162

二、条件极值（最值）问题 165

三、多元函数的最大（小）值问题 167

4 二重积分 170

内容精讲 170

一、二重积分的定义及几何意义 170

二、二重积分的性质 171

三、二重积分的计算 171

例题分析 173

一、计算二重积分 173

二、累次积分交换积分次序及计算 183

三、与二重积分有关的综合题 185

四、与二重积分有关的积分不等式问题 188

练习 190

第五章 常微分方程 192

考点与要求 192

1 常微分方程 192

内容精讲 192

一、微分方程的基本概念 192

二、常见的几类一阶方程及解法 192

三、可降阶的高阶微分方程 193

四、高阶线性方程 193

例题分析 195

一、微分方程求解 195

二、微分方程的综合题 201

三、微分方程的应用 203

练习 206

第二篇 线性代数 209

第一章 行列式 209

考点与要求 209

内容精讲 209

例题分析 212

一、数字型行列式的计算 212

二、抽象型行列式的计算 220

三、行列式｜A｜是否为零的判定 222

四、关于代数余子式求和 223

练习 224

第二章 矩阵 226

考点与要求 226

内容精讲 226

1 矩阵的概念及运算 226

一、矩阵的概念 226

二、矩阵的运算 227

三、矩阵的运算规则 227

四、特殊矩阵 228

2 伴随矩阵、可逆矩阵 228

一、伴随矩阵、可逆矩阵的概念 228

二、伴随矩阵重要公式 229

三、n阶矩阵A可逆的充分必要条件 229

四、逆矩阵的运算性质 229

五、求逆矩阵的方法 229

3 初等变换、初等矩阵 230

一、定义 230

二、初等矩阵与初等变换的性质 230

4 矩阵的秩 231

一、矩阵秩的概念 231

二、矩阵秩的公式 231

5 分块矩阵 232

一、分块矩阵的概念 232

二、分块矩阵的运算 232

例题分析 233

一、矩阵的概念及运算 233

二、特殊方阵的幂 236

三、伴随矩阵的相关问题 238

四、可逆矩阵的相关问题 241

五、初等变换、初等矩阵 244

六、矩阵秩的计算 247

练习 250

第三章 向量 252

考点与要求 252

内容精讲 252

1 n维向量的概念与运算 252

2 线性表出、线性相关 252

一、线性表出的概念 253

二、线性相关、线性无关的概念 253

三、线性表出、线性相关的重要定理 253

3 极大线性无关组、秩 254

一、极大线性无关组、向量组秩的概念 254

二、有关秩的定理 254

4 Schmidt正交化、正交矩阵 254

一、Schmidt正交化（正交规范化方法） 254

二、正交矩阵 255

例题分析 255

一、线性相关的判别 255

二、向量的线性表示 257

三、线性相关与线性无关的证明 259

四、秩与极大线性无关组 263

五、正交化、正交矩阵 265

练习 266

第四章 线性方程组 268

考点与要求 268

内容精讲 268

1 克拉默法则 268

2 齐次线性方程组 268

3 非齐次线性方程组 270

例题分析 271

一、线性方程组的基本概念题 271

二、线性方程组的求解 275

三、基础解系 281

四、Ax＝0的系数矩阵的行向量和解向量的关系，由Ax＝0的基础解系反求A 282

五、线性方程组系数列向量与解向量的关系 284

六、两个方程组的公共解 286

七、同解方程组 287

练习 290

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵 292

考点与要求 292

内容精讲 292

1 特征值、特征向量 292

一、定义 292

二、特征值的性质 292

三、求特征值、特征向量的方法 292

2 相似矩阵、矩阵的相似对角化 293

一、定义 293

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件 293

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件 293

3 实对称矩阵的相似对角化 294

一、定义 294

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化 294

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤 294

例题分析 295

一、特征值，特征向量的求法 295

二、两个矩阵有相同的特征值的证明 299

三、关于特征向量及其他给出特征值特征向量的方法 300

四、矩阵是否相似于对角阵 301

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数 304

六、由特征值、特征向量反求A 304

七、矩阵相似及相似标准形 305

八、相似对角阵的应用 310

练习 314

第六章 二次型 315

考点与要求 315

内容精讲 315

1 二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵 315

一、二次型概念 315

二、二次型的矩阵表示 315

2 化二次型为标准形、规范形合同二次型 316

一、定义 316

3 正定二次型、正定矩阵 318

一、定义 318

例题分析 318

一、二次型的矩阵表示 318

二、化二次型为标准形、规范形 319

三、合同矩阵、合同二次型 325

四、正定性的判别与证明 328

五、二次型的应用 332

练习 334

章后练习参考答案 336

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