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第1章 预备知识 1

1.1 代数式 1

1.1.1 代数式的概念 1

1.1.2 代数式的运算 2

1.1.3 分式及其运算 4

1.1.4 多项式的因式分解 5

1.2 方程 7

1.2.1 二元一次方程组 7

1.2.2 一元二次方程 9

1.3 不等式 12

1.3.1 不等式的性质 12

1.3.2 不等式的解法 13

1.4 MATLAB软件介绍及代数的软件求解 18

1.4.1 MATLAB软件的界面 18

1.4.2 基本命令 19

1.4.3 求解示例 19

习题1 21

第2章 函数 23

2.1 集合及其运算 23

2.1.1 集合的基本概念 23

2.1.2 集合之间的关系 24

2.1.3 区间与邻域 25

2.1.4 集合的运算 26

2.2 函数 28

2.2.1 函数的定义 28

2.2.2 函数的性质 31

2.3 基本初等函数 33

2.3.1 指数幂 33

2.3.2 幂函数 34

2.3.3 指数函数 35

2.3.4 对数函数 36

2.3.5 三角函数与反三角函数 38

2.4 初等函数 52

2.4.1 初等函数 52

2.4.2 复合函数 52

2.4.3 分段函数 52

2.4.4 函数模型的建立 53

2.5 函数的软件求解 54

2.5.1 基本命令 54

2.5.2 求解示例 55

习题2 57

第3章 极限 60

3.1 极限的概念 60

3.1.1 数列的极限 60

3.1.2 函数的极限 63

3.2 极限的计算方法 66

3.2.1 四则运算法则 66

3.2.2 重要极限Ⅰ 68

3.2.3 重要极限Ⅱ 69

3.2.4 无穷大量与无穷小量 70

3.3 函数的连续性 73

3.4 极限的软件求解 75

3.4.1 基本命令 75

3.4.2 求解示例 75

习题3 77

第4章 微分学及其应用 80

4.1 导数的概念 80

4.1.1 引例 80

4.1.2 导数的定义 81

4.1.3 求函数的导数举例 82

4.1.4 单侧导数——左导数和右导数 83

4.1.5 导数的意义 83

4.1.6 函数可导与连续的关系 84

4.2 导数的计算 85

4.2.1 函数的求导法则 86

4.2.2 复合函数的求导法则 89

4.2.3 高阶导数 91

4.3 函数的微分 93

4.3.1 微分的概念 93

4.3.2 微分的几何意义 95

4.3.3 微分的计算 95

4.4 微分中值定理和洛必达法则 97

4.4.1 微分中值定理 97

4.4.2 洛必达法则 98

4.5 导数的应用 100

4.5.1 函数的单调性 100

4.5.2 函数的极值 102

4.5.3 函数的最值 104

4.6 函数图象的描绘 107

4.6.1 曲线的凹凸性 107

4.6.2 曲线的拐点 108

4.6.3 曲线的渐近线 109

4.6.4 函数作图的一般步骤 110

4.7 导数的软件求解 112

4.7.1 基本命令 112

4.7.2 求解示例 112

习题4 116

第5章 积分学及其应用 119

5.1 不定积分的概念 119

5.1.1 原函数的概念 119

5.1.2 不定积分的概念 120

5.1.3 基本积分表 121

5.1.4 不定积分的性质 123

5.2 不定积分的积分法 125

5.2.1 换元积分法 125

5.2.2 分部积分法 133

5.3 定积分的概念 135

5.3.1 定积分概念的产生 136

5.3.2 定积分定义 138

5.3.3 定积分的几何意义 139

5.3.4 定积分的性质 140

5.4 微积分基本公式 142

5.4.1 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 142

5.4.2 积分上限函数 143

5.4.3 牛顿-莱布尼茨公式 145

5.5 定积分的积分法 147

5.5.1 定积分的换元法 147

5.5.2 定积分的分部积分法 149

5.6 定积分的应用 150

5.6.1 微元法 150

5.6.2 定积分的几何应用 152

5.6.3 定积分的物理应用 155

5.7 积分的软件求解 157

5.7.1 基本命令 157

5.7.2 求解示例 157

习题5 160

第6章 常微分方程 162

6.1 常微分方程的基本概念 162

6.2 可分离变量的微分方程 164

6.3 一阶线性微分方程 167

6.3.1 一阶齐次线性微分方程的解法 167

6.3.2 一阶非齐次线性微分方程的解法 168

6.4 二阶常系数齐次线性微分方程 172

6.4.1 二阶常系数齐次线性微分方程及其解的叠加原理 172

6.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 174

6.5 常微分方程的软件求解 177

6.5.1 基本命令 177

6.5.2 求解示例 177

习题6 178

第7章 无穷级数 180

7.1 常数项级数 180

7.1.1 常数项级数的概念 180

7.1.2 收敛级数的基本性质 182

7.2 常数项级数的审敛法 184

7.2.1 正项级数及其审敛法 184

7.2.2 交错级数及其审敛法 186

7.2.3 绝对收敛与条件收敛 187

7.3 幂级数 188

7.3.1 函数项级数的一般概念 188

7.3.2 幂级数及其收敛域 189

7.3.3 幂级数的运算性质 191

7.3.4 将函数展开为幂级数 193

7.4 傅里叶级数 196

7.4.1 三角函数系的正交性 196

7.4.2 函数展开为傅里叶级数 197

7.4.3 正弦级数和余弦级数 200

7.4.4 非周期函数的傅里叶级数 202

7.5 傅里叶级数的复数形式 204

7.5.1 复数及相关概念 204

7.5.2 复数的四则运算 206

7.5.3 复数的其他表示形式 207

7.5.4 傅里叶级数的复数形式 209

7.6 傅里叶级数的应用 211

习题7 213

第8章 概率初步 215

8.1 计数原理与排列组合 215

8.1.1 加法原理和乘法原理 215

8.1.2 排列 218

8.1.3 组合 220

8.2 随机现象与随机事件 222

8.2.1 随机现象 222

8.2.2 随机事件 223

8.2.3 事件间的关系与运算 224

8.3 随机事件的概率 226

8.3.1 概率的统计定义 226

8.3.2 概率的古典概型 227

8.4 概率的运算 230

8.4.1 加法公式 230

8.4.2 乘法公式 231

8.4.3 全概率公式 233

8.5 事件的独立性 234

8.5.1 事件的独立性 234

8.5.2 伯努利概型 235

8.6 随机变量及其概率分布 236

8.6.1 随机变量 236

8.6.2 分布函数 237

8.6.3 离散型随机变量的概率分布 239

8.6.4 连续型随机变量的概率分布 241

8.7 随机变量的数字特征 244

8.7.1 数学期望 244

8.7.2 方差 246

8.7.3 几个重要分布的期望与方差 248

习题8 249

参考文献 254

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