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第一章 行列式 1

1.1排列 1

习题1.1 2

1.2行列式 3

1.2.1二阶行列式 3

1.2.2三阶行列式 4

1.2.3 n阶行列式 6

1.2.4行列式的展开定理 7

1.2.5几种特殊的行列式 9

习题1.2 10

1.3行列式的性质 12

习题1.3 16

1.4行列式的计算 17

1.4.1计算行列式的基本方法之一 17

1.4.2计算行列式的基本方法之二 19

习题1.4 23

1.5克莱姆法则 24

1.5.1非齐次方程组与齐次方程组的概念 24

1.5.2克莱姆法则 25

习题1.5 27

1.6应用实例——行列式在解析几何中的应用 28

本章小结 29

总习题一 30

第二章 矩阵 35

2.1矩阵概述 35

2.1.1 矩阵的概念 36

2.1.2几种特殊形式的矩阵 37

习题2.1 39

2.2矩阵的运算 39

2.2.1矩阵的加法 40

2.2.2矩阵的数乘 40

2.2.3 矩阵的乘法 41

2.2.4 矩阵的转置 44

2.2.5方阵的行列式 45

2.2.6伴随矩阵 45

习题2.2 46

2.3逆矩阵 48

2.3.1逆矩阵的概念 48

2.3.2逆矩阵的性质 48

2.3.3逆矩阵的求法 49

2.3.4逆矩阵求解线性方程组 50

习题2.3 51

2.4矩阵的初等变换 52

2.4.1矩阵的初等变换 52

2.4.2初等矩阵 53

2.4.3初等变换求逆矩阵 55

2.4.4用初等变换求解矩阵方程 56

习题2.4 57

2.5矩阵的秩 57

2.5.1行最简形矩阵 57

2.5.2 矩阵的秩 58

习题2.5 61

2.6分块矩阵 62

2.6.1分块矩阵的概念 62

2.6.2分块矩阵的运算 62

习题2.6 66

2.7应用实例——矩阵密码法 67

本章小结 68

总习题二 70

第三章 向量的线性相关性 74

3.1 n维向量 74

3.1.1向量的概念 74

3.1.2向量的线性运算 75

3.1.3向量与线性方程组 76

习题3.1 76

3.2向量组的线性关系 76

3.2.1线性组合与线性表示 76

3.2.2线性相关与线性无关 78

3.2.3线性相关性的几个结论 79

习题3.2 81

3.3向量组的秩 矩阵的秩 82

3.3.1向量组的极大无关组 82

3.3.2 矩阵的秩 向量组的秩 83

3.3.3向量组的极大无关组的求法 84

3.3.4用向量组的秩判别向量之间的线性关系 86

习题3.3 87

3.4向量空间 88

3.4.1向量空间的概念 88

3.4.2向量空间的基底与维数 89

3.4.3向量空间中向量的坐标 90

习题3.4 91

本章小结 92

总习题三 94

第四章 线性方程组 96

4.1线性方程组的消元法 96

4.1.1线性方程组的消元法 96

4.1.2消元法与矩阵初等变换的关系 97

习题4.1 99

4.2线性方程组解的判定 99

4.2.1非齐次线性方程组解的判定 100

4.2.2齐次线性方程组解的判定 102

习题4.2 104

4.3齐次线性方程组解的结构 105

4.3.1齐次线性方程组解的结构 105

4.3.2齐次线性方程组的求解 107

习题4.3 110

4.4非齐次线性方程组解的结构 111

4.4.1非齐次线性方程组解的结构 111

4.4.2非齐次线性方程组解的结构 112

4.4.3用线性方程组解的情况判别向量组的线性相关性 116

习题4.4 118

4.5应用实例 119

应用1交通流量 119

应用2化学方程式 120

本章小结 120

总习题四 121

第五章 特征值与特征向量 124

5.1特征值与特征向量 124

5.1.1特征值与特征向量的定义 124

5.1.2关于特征值和特征向量的若干结论 127

5.1.3关于求特征值和特征向量的一般方法 129

习题5.1 131

5.2相似矩阵与矩阵可对角化的条件 132

5.2.1相似矩阵及其性质 132

5.2.2矩阵可对角化的条件 133

习题5.2 136

5.3向量的内积与正交矩阵 137

5.3.1向量的内积 137

5.3.2向量组的正交化方法 138

5.3.3正交矩阵 142

习题5.3 142

5.4实对称矩阵的相似标准形 143

习题5.4 150

5.5应用实例 151

5.5.1期望问题 151

5.5.2结构学——梁的弯曲 153

5.5.3伴性基因 154

本章小结 155

总习题五 156

第六章 二次型 159

6.1二次型及其标准型 159

6.1.1二次型的基本概念 159

6.1.2可逆变换 161

6.1.3二次型的标准形 161

习题6.1 164

6.2用配方法及初等变换法化二次型为标准形 165

6.2.1用配方法化二次型为标准形 165

6.2.2用初等变换化二次型为标准形 166

6.2.3标准二次型化为规范二次型 167

习题6.2 169

6.3正定二次型和正定矩阵 169

6.3.1二次型的分类 169

6.3.2判别方法 170

习题6.3 171

本章小结 172

总习题六 172

附录Ⅰ相关的几个概念 174

附录Ⅱ数域 177

附录Ⅲ MATLAB软件求解线性代数问题 178

附录Ⅳ部分习题参考答案与提示 187

参考文献 210

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