信毅教材大系·通识系列 测度论与实分析基础PDF电子书下载

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本书使用的记号 1

第1章 预备知识 1

1.1 集合 1

1.1.1 集合的概念 1

1.1.2 集合的运算 2

1.1.3 上限集与下限集 4

1.2 笛卡尔直积 6

1.3 映射 7

1.4 集合的基数 10

1.5 Rn中的点集 16

1.5.1 欧氏空间Rn 16

1.5.2 开集和闭集 17

1.5.3 点列的极限 19

1.6 连续性 21

1.6.1 连续映射的定义与性质 21

1.6.2 连续延拓定理 23

第1章 习题 27

第2章 测度 31

2.1 测度的概念 31

2.2 Lebesgue外测度 36

2.3 Lebesgue测度 41

2.4 测度的扩张 44

2.4.1 测度的唯一性 44

2.4.2 测度的扩张 46

第2章 习题 52

第3章 可测函数 56

3.1 可测函数的定义与性质 56

3.2 几乎处处收敛与依测度收敛 61

3.3 用简单函数逼近可测函数 64

3.4 Lusin定理 67

第3章 习题 70

第4章 积分 72

4.1 简单函数的积分 72

4.2 非负可测函数的积分 77

4.3 一般可测函数的积分 80

4.4 Lebesgue积分与Riemann积分的联系 86

4.5 乘积测度 92

4.6 Fubini定理 96

4.6.1 乘积空间上的可测函数 96

4.6.2 Fubini定理 98

4.7 可积函数与连续函数的关系 103

第4章 习题 106

第5章 Lebesgue微分定理和Radon-Nikodym定理 110

5.1 Lebesgue微分定理 110

5.2 符号测度 117

5.3 Radon-Nikodym定理 121

第5章 习题 127

第6章 Lp-空间和Fourier变换 131

6.1 Lp-范数 131

6.2 Lp-空间的完备性 136

6.3 对偶性 144

6.4 L2-空间 154

6.5 Fourier级数 161

6.5.1 Fourier级数的点态收敛 161

6.5.2 Abel求和 166

6.6 卷积 173

6.7 Fourier变换 178

6.7.1 Fourier变换的定义及性质 178

6.7.2 Fourier变换的反演公式 183

6.7.3 L2-空间上的Fourier变换 187

第6章 习题 194

附录A：不可测集的构造 199

附录B：n维球坐标变换的Jacobi行列式 202

部分习题答案 205

参考文献 232

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